- •Глава 6. Дифференциальное исчисление
- •§1. Производная функции
- •Правила дифференцирования
- •§2. Задачи, приводящие к понятию производной функции
- •§3. Дифференциал функции
- •§4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§5. Исследование функций на монотонность и экстремум
- •Задачи на экстремум.
- •§6. Исследование функции на вогнутость и точки перегиба
- •Построение графиков функций
- •Упражнения
Глава 6. Дифференциальное исчисление
Важнейшим понятием современной математики является понятие производной функции. Оно возникло как результат многовековых усилий, направленных на решение задачи о касательной к данной кривой, задачи о скорости неравномерного движения и некоторых других задач. Подобные задачи интересовали математиков с давних времен, и накопившийся в этом направлении обширный материал получил теоретическое завершение лишь в 17 веке в трудах Ньютона и Лейбница.
§1. Производная функции
Пусть функция у = f(x) определена во всех точках некоторого интервала (а; b) и точка хо принадлежит этому интервалу. Пусть х другая точка из (а; b), тогда разность х = х хо называется приращением аргумента в точке хо, и разность у = f(x) f(xo) называется приращением функции f(x) в точке хо, соответствующим приращению х.
О пределение 1. Производной функции у = f(x) в точке хо называется предел отношения у к х в точке хо, когда х стремится к нулю, если этот предел существует, (обозначения: f (x0), y(x0), , ).
Пример 1. 1). Вычислить производную функции у = х3 в точке хо = 2.
Р ешение. По условию, х = (х 2) и у = (х323). Тогда
Ответ: y (2) = 12.
2). Вычислить производную функции у = lnx в точке хо = 1.
Р ешение. По условию, х = (х 1) и у = (lnx ln1). Последнее выражение преобразовывается следующим образом: у = ln x ln(1 + x 1) =
Ответ: y (2) = 12.
Если конкретная точка х0 не указана, то производные записываются в общем виде для произвольного х так как это сделано в следующей таблице.
Таблица производных простейших функций
-
№
Функция
Производная
Частные случаи
1
x
x
1' = 0; x' = 1; (х2)' = 2x;
;
2
ах
ахlna
(amx)' = mamxlna; (еmx)' = memx.
3
logax
4
sinx
cosx
(sin(mx)) = m cos(mx).
5
cosx
sinx
(cos(mx)) = m sin(mx).
6
tgx
(tg(mx)) = .
7
ctgx
(ctg(mx)) = .
8
arcsinx
(arcsin(mx)) =
9
arccosx
(arcos(mx)) =
10
arctgx
(arctg(mx)) =
11
arcctgx
(arcctg(mx)) =
Доказательства этих формул и следующих правил предлагается читателю рассмотреть самостоятельно [8, с. 54].