§2. Задачи, приводящие к понятию производной функции

Залача о мгновенной скорости движения. Пусть точка М движется вдоль числовой оси ОХ и в каждый момент времени t ее координата равна s(t). Тогда равенство s = s(t) называется уравнением движения точки М. Пусть рассматривается момент t_o, и t - некоторый другой момент, (см. чертеж 33). В момент t_о точка М имеет координату s(t_о) и в момент t  координату s(t). Тогда разность s = s(t)  s(t_о) есть расстояние, пройденное точкой М за время t = (t t_o), а отношение = есть средняя скорость движения.

s

0 s(t₀) s(t) X

Черт.33.

Н о более правильное представление о скорости движения в момент t₀ дает предел этого отношения, когда t стремится к t_o, и этот предел называется мгновенной скорстью движения точки М:

Ясно, что этот предел является производной функции s(t) в точке t_o. Получен следующий физический смысл производной: если функция s(t) задает уравнение движения точки, то производная s(t_o) есть мгновенная скорость движения точки в момент t_o.

Аналогично показывается, что производная второго порядка s(t_o) есть мгновенное ускорение движения точки в момент t_o,.

Пример 5. Пусть S = t³ – 6t² + t  расcтояние в метрах, пройденное телом в течение t секунд. Определить скорость и ускорение при t = 3 c.

Решение. Скорость v в момент t равна производной S= 3t²  12t + 1, тогда при t = 3 скорость равна v = 33²  123 + 1= м/с. Ускорение w в момент t есть производная от скорости: w = v = 6t  12. При t = 3 ускорение равно w = 63  12 = 6 м/с².

Теперь, рассматриваются примеры применения понятия производной в экономике.

Задача о предельных издержках производства. Пусть х обозначает количество выпускаемой продукции и у  издержки производства. Тогда у считается функцией от количества выпускаемой продукции: у = f(x). Пусть в некоторые моменты времени выпуски продукции составили х_о и х (ед.), а издержки производства равны f(x_o) и f(x) (ден. ед.), соответственно. Тогда х = х  х_о есть прирост продукции, у = f(x)  f(x_o)  приращение издержек производства, и отношение = называется средним приращением издержек производства на единицу продукции. Но для характеристики скорости изменения денежных затрат вводятся так называемые предельные издержки производства, которые равны производной этой функции:

А налогично с помощью производной могут быть определены предельная выручка, предельная себестоимость и другие предельные величины. При этом средние величины характеризуют состояние соответствующего экономического объекта, а предельные величины характеризуют скорость изменение этого объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса. Однако, следует учесть, что экономика и другие социальные науки не всегда позволяют использовать предельные величины в силу неделимости многих экономических объектов и в силу прерывности экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). Вместе с тем в ряде случаев оказывается возможным отвлечься от дискретности этих показателей и эффективно использовать предельные величины.

З адача о темпе производственной функции. Пусть функция у = f(t) описывает некоторый производственный показатель. Тогда рассматривается относительная скорость изменения этой функции, которая называется темпом данного показателя и определяется как логарифмическая производная:

Например, рассматривают темпы роста производительности труда, темпы изменения себестоимости продукции.

Задача об эластичности функции. Эластичностью функции у = f(x) называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента х при х  0:

Коэффициент эластичности Е_х(y) показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y при изменении аргумента х на 1%. Например, если y – спрос на некоторый товар и х – цена товара, то Е_х(y) показывает на сколько процентов изменится спрос при изменении цены на 1%. Если |Е_х(y)| > 1, то спрос считают эластичным, если |Е_х(y)| = 1, то – нейтральным, если |Е_х(y)| < 1, то спрос неэластичен относительно цены.

Задача о касательной. Рассматривается график функции у = f(x) и точка М_о(х_о; у_о) на этом графике. Требуется определить касательную к графику в точке М_о и найти ее уравнение. Так как М_о лежит на графике, то ее координаты удовлетворяют уравнению графика, т.е. выполняется равенство: у_о = f(x_o). Пусть М(х; у) – произвольная точка на графике, тогда ее координаты удовлетворяют равенству: у = f(x). Пусть эти точки проецируются на оси координат (см. чертеж 34), и M_оN параллельна оси ОХ.

Y

y M

y

у = f(x) K

y₀ M₀ dy

 x N

  X

0 x₀ х

Черт.34.

В треугольнике МNM_o: M_оN = (х х_о) = х, NM = (у  у_о) = у, отношение NM к M_оN равно тангенсу угла NM_оM: = tg(NM_оM). Касательной к графику функции f(x) в точке М_о называется прямая линия, к которой стремятся хорды М_оМ, когда точка М стремится к точке М_о по графику.

Если точка М будет двигаться по графику к точке М_о, то х будет приближаться к х_о, и отношение будет стремиться к tg, где   угол наклона касательной к оси ОХ . Величина tg называется угловым коэффициентом касательной. С другой стороны, предел отношения при х  х_о равен производной функции f(x) в точке х_о. Получен следующий геометрический смысл производной:

производная функции f(x) в точке х_о равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке М_о(х_о; f(x_о)): f (x_o) = tg .

Теперь, применяется уравнение (20) из главы 2 и получается следующее уравнение касательной к графику f(x) в точке М_о:

у = f (x_o)(х  x_o) + f(x_o) . (45)

Пример 6. Найти уравнения касательных к параболе у = 0,4х²  3,2х + 7,8 в точках пересечения ее с прямой у = 0,4х + 2,2.

Р ешение. Координаты точки пересечения линий удовлетворяют обоим уравнениям, тогда эти координаты являются решениями системы: у = 0,4х + 2,2 ,

у = 0,4х² 3,2х + 7,8.

Здесь два решения: х₁ = 7, у₁ = 5 и х₂ = 2, у₂ = 3. Следовательно, получены две точки пересечения А(7; 5) и В(2; 3). Абсцисса вершины параболы С находится из уравнения у(x) = 0, т.е. 0,8x  3,2 = 0, отсюда получается x = 4. Это подставляется в уравнение параболы: y = 1,4; тогда C(4; 1,4)  вершина параболы (см. чертеж 35).

y y = 0,4x²  3,2x + 7,8

A

y=0,4x+2,2

B

С y=2,4x11,8

y =1,6x+6,2

M₁ 0 M₂ x

Черт.35.

Далее, применяется уравнение (45). Находится производная: у = (0,4х² 3,2х + 7,8)' = 0,8х 3,2. Значения у в точках х₁ = 7 и х₂ = 2 являются угловыми коэффициентами касательных в точках А и В: k₁ = 0,873,2 = 2,4 и k₂ = 0,82 3,2 = 1,6. Эти значения подставляются в (45).

1. у = 2,4(х7) + 5  у = 2,4х 11,8  уравнение касательной в точке

А(7; 5).

2) у = 1,6(х2) + 3  у = 1,6х + 6,2  уравнение касательной в точке В(2; 3).

Для построения 1-й касательной берется A(7; 5) и новая точка М₁(5; 0,2). 2-й касательная проходит через В(2; 3) и М₂(4; 0,2).