Двоичная таблица сложения Двоичная таблица умножения

0+0= 0 0·0=0

0+1= 1 0·1=0

1+0= 1 1·0=0

1+1=10 1·1=1

При сложении двух двоичных чисел необходимо учитывать, что 1+1 дают ноль в данном разряде и единицу переноса в следующий старший разряд. Правила сложения остаются теми же, что и в десятичной системе: сложение ведем, начиная с младших разрядов, а при возникновении переносов учитываем их в старших разрядах. Поясним это на примере сложения двух двоичных чисел:

Единицы переноса 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Первое слагаемое ⁺110101,1011 ⁺110111

Второе слагаемое 11000,1110 11011

Сумма 1001110,1001 1010010

Несколько сложнее производится сложение трех и более двоичных чисел. В этом случае необходимо внимательно следить за образующимися при сложении единицами переноса в старшие разряды, поскольку эти единицы могут переходить не только в ближайшие старшие разряды, но и в более удаленные.

При вычитании двоичных чисел необходимо помнить, что занятая в ближайшем старшем разряде единица дает две единицы соседнего младшего разряда. Если в соседних старших разрядах стоят нули, то приходится занимать единицу через несколько разрядов. При этом единица, занятая в ближайшем значащем старшем разряде, даст две единицы младшего разряда и единицы во всех нулевых разрядах, стоящих между младшим и тем старшим разрядом, у которого брался заем.

Примеры: 1) _10101 2) _10001 3)_1101 4) _10110

1101 1100 111 101

1000 101 110 10001

При умножении двоичных чисел используются двоичные таблицы умножения и сложения.

Пример: 1) 111 2) 1001 3) 11011

101 1011 1111

⁺ 111 ⁺ 1001 11011

000 1001 11011

111 1001 11011

100011 1100011 11011

110010101

Из примера видно, что умножение в двоичной системе сводится к многократному сложению и сдвигам: если в данном разряде множимого записана единица, то осуществляется прибавление к промежуточной сумме множимого, сдвинутого на один разряд влево, если – 0, то прибавление нуля.

При делении двоичных чисел используются двоичные таблицы умножения и вычитания. Поскольку деление – действие, обратное умножению, то оно сводится соответственно к сдвигам и вычитанию делителя.

Пример: 1) _1111 | 101 2) _11001| 101 3) _11011| 11

101 11 101 101 11 1001

_101 _101 _011

101 101 11

000 000 000

Как видно из приведенных примеров, правила выполнения арифметических действий в десятичной и двоичной системах одинаковы. Однако в двоичной системе счисления они гораздо проще, а, следовательно, и результаты вычисления надежнее. А надежность на дорогостоящем оборудовании играет большую роль, т.к. любое искажение отражается в виде неправильных результатов на выходе.

Таким образом, применительно к электронным вычислительным машинам двоичная система счисления обладает рядом преимуществ перед десятичной. Во-первых, при представлении чисел в машине каждая двоичная цифра числа может быть представлена элементом машины, имеющим лишь два устойчивых состояния, одно из которых принимается за 0, а другое – за 1. Во-вторых, арифметические действия над двоичными числами оказываются намного проще, чем соответствующие операции в десятичной системе. В-третьих, двоичная система оказывается более экономичной, чем десятичная, с точки зрения затраты элементов.

Недостатком двоичной системы является то, что она не привычна для человека. Значит, неудобством этой системы счисления (как, впрочем, и всякой другой, отличной от десятичной) является необходимость перевода исходных данных из десятичной системы в двоичную при вводе их в машину и обратного перевода из двоичной в десятичную при выводе результатов вычислений.