- •Ю.В.Захаров Математическое моделирование
- •Введение
- •1. Основные сведения из теории вероятностей и
- •1.1. Случайные величины. Выборка
- •1.2. Законы распределения случайных величин
- •Экспоненциальный закон распределения
- •Hормальный закон распределения (hзр)
- •1.3. Числовые характеристики случайных величин Характеристики положения
- •Характеристики рассеяния
- •1.4. Статистическая проверка гипотез
- •Гипотеза о равенстве дисперсий
- •Гипотеза об однородности дисперсий
- •Гипотеза о равенстве средних
- •Гипотеза о законе распределения случайной величины
- •1.5. Ошибки измерения физических величин и методы
- •Случайные, систематические и грубые ошибки
- •Методы исключения резко выделяющихся результатов эксперимента
- •Табличные значения критерия Романовского
- •2. Выбор наиболее существенных факторов объекта
- •2.1. Метод экспертных оценок
- •Матрица рангов параметров
- •Сумма рангов и коэффициент весомости
- •Сводные результаты экспертизы
- •2.2. Метод начальных моментов
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •Общая постановка и решение задачи да
- •Однофакторный да
- •3. Математическое моделирование в технологии
- •3.1. Методы математического моделирования
- •3.2. Пассивный эксперимент для мм
- •3.2.1. Регрессионный анализ.
- •Примеры.
- •3.2.2. Метод экспоненциального сглаживания
- •3.2.3. Корреляционный анализ.
- •3.2.4 Оценка адекватности мм.
- •3.3. Активный эксперимент для мм
- •3.3.1. Вид и алгоритм построения математической модели
- •3.3.2. Полный факторный эксперимент типа 2k.
- •Проверка воспроизводимости эксперимента
- •Вычисление коэффициентов модели.
- •Примеры вычислений коэффициентов пфэ 22
- •Проверка значимости коэффициентов модели.
- •Проверка адекватности модели.
- •Анализ и синтез тп по полученной модели.
- •Получение математической модели с учетом взаимодействий факторов.
- •3.3.3. Дробный факторный эксперимент.
- •В записи плана дфэ 2k-p p означает количество взаимодействий факторов приравненным независимым переменным. Дфэ 23-1 – половина пфэ 23, т.Е. Полуреплика от пфэ 23.
- •3.3.4. Математические модели второго порядка.
- •Контрольные вопросы
- •Заключение
- •Содержание введение
- •Заключение
- •Литература
Hормальный закон распределения (hзр)
HЗР - наиболее часто встречающийся на практике вид распределения.
Анализ общих условий возникновения HЗР показывает, что если отклонение параметра y от номинального значения вызвано действием достаточно большого числа К независимых или слабо зависимых факторов хi
и среди К факторов нет явно превалирующих над остальными, то закон распределения параметра y при увеличении К стремится к нормальному. Причем закон распределения факторов хi может быть любым. Это утверждение является следствием центральной предельной теоремы теории вероятностей (теоремы Ляпунова).
Для HЗР:
Из выражения для функции распределения F(x) можно найти вероятность нахождения непрерывной СВ в пределах значений х1 и х2:
,
где - нормированная функция Лапласа. Значения табулированы [7, 8].
Из приведенного выражения можно вычислить вероятность нахождения СВ Х в пределах: ±S; ±2S; ±3S.
Они равны соответственно: 0,683; 0,955; 0,9973.
Практически рассеяние СВ, подчиненной HЗР, находится в пределах m(x)±3S(x), т.к. вероятность попадания ее за пределы этого участка очень мала (0,0027), т.е. такое событие можно считать почти невозможным. Отсюда следует правило "трех сигм": если СВ имеет HЗР, то отклонение ее значений от математического ожидания по абсолютной величине не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения.
1.3. Числовые характеристики случайных величин Характеристики положения
1) Математическое ожидание - среднее значение СВ в генеральной совокупности. Оно характеризует центр распределения СВ Х.
Статистическое значение математического ожидания вычисляется по формуле
.
2) Медиана Ме - значение СВ, которое делит упорядоченный ряд статистических данных на две равные по объему группы.
Если в упорядоченном ряде нечетное 2к+1 число значений статистических данных, то значение xК+1 = Ме.
Если в упорядоченном ряде четное 2к число значений статистических данных, то значение
.
3) Мода Мо - значение СВ, которое наиболее часто встречается в наблюдаемом ряде статистических данных. Бывают двумодальные и многомодальные распределения.
Характеристики рассеяния
1) Размах R статистических данных
.
2) Центр интервала статистических данных (xср.)
.
3) Дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения СВ от среднего значения. Она характеризует степень рассеяния СВ от среднего значения.
Статистическое значение дисперсии вычисляется по формуле
.
4) Среднеквадратическое отклонение (S)
.
5) Коэффициент вариации (V). Характеризует рассеивание СВ в относительных единицах.
.
1.4. Статистическая проверка гипотез
Под статистическими понимают гипотезы, которые относятся к отдельным параметрам закона распределения СВ или к самому закону распределения.
В теории простых гипотез проверяемую гипотезу обозначают через H0 и называют ее нулевой гипотезой. Конкурирующую гипотезу называют альтернативной и обозначают H1.
Гипотеза о равенстве дисперсий
Берутся две выборки изделий объемом n1 и n2. У изделий контролируется параметр Х и вычисляются значения .
Hулевая гипотеза H0 : .
Альтернативная - H1 : .
При HЗР параметра Х для проверки гипотезы H0 используется F - критерий Фишера. Для этого:
а) вычисляется при
(1)
или при ;
б) определяется табличное значение Fтабл.
при ;
при ,
где - уровень принимаемого решения; ;
в) сравниваются Fрасч. и Fтабл.
Если Fрасч<Fтабл., то гипотеза о равенстве дисперсий в двух выборках справедлива с вероятностью .
Если Fрасч.Fтабл., то с вероятностью верна гипотеза H1.