- •Ю.В.Захаров Математическое моделирование
- •Введение
- •1. Основные сведения из теории вероятностей и
- •1.1. Случайные величины. Выборка
- •1.2. Законы распределения случайных величин
- •Экспоненциальный закон распределения
- •Hормальный закон распределения (hзр)
- •1.3. Числовые характеристики случайных величин Характеристики положения
- •Характеристики рассеяния
- •1.4. Статистическая проверка гипотез
- •Гипотеза о равенстве дисперсий
- •Гипотеза об однородности дисперсий
- •Гипотеза о равенстве средних
- •Гипотеза о законе распределения случайной величины
- •1.5. Ошибки измерения физических величин и методы
- •Случайные, систематические и грубые ошибки
- •Методы исключения резко выделяющихся результатов эксперимента
- •Табличные значения критерия Романовского
- •2. Выбор наиболее существенных факторов объекта
- •2.1. Метод экспертных оценок
- •Матрица рангов параметров
- •Сумма рангов и коэффициент весомости
- •Сводные результаты экспертизы
- •2.2. Метод начальных моментов
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •Общая постановка и решение задачи да
- •Однофакторный да
- •3. Математическое моделирование в технологии
- •3.1. Методы математического моделирования
- •3.2. Пассивный эксперимент для мм
- •3.2.1. Регрессионный анализ.
- •Примеры.
- •3.2.2. Метод экспоненциального сглаживания
- •3.2.3. Корреляционный анализ.
- •3.2.4 Оценка адекватности мм.
- •3.3. Активный эксперимент для мм
- •3.3.1. Вид и алгоритм построения математической модели
- •3.3.2. Полный факторный эксперимент типа 2k.
- •Проверка воспроизводимости эксперимента
- •Вычисление коэффициентов модели.
- •Примеры вычислений коэффициентов пфэ 22
- •Проверка значимости коэффициентов модели.
- •Проверка адекватности модели.
- •Анализ и синтез тп по полученной модели.
- •Получение математической модели с учетом взаимодействий факторов.
- •3.3.3. Дробный факторный эксперимент.
- •В записи плана дфэ 2k-p p означает количество взаимодействий факторов приравненным независимым переменным. Дфэ 23-1 – половина пфэ 23, т.Е. Полуреплика от пфэ 23.
- •3.3.4. Математические модели второго порядка.
- •Контрольные вопросы
- •Заключение
- •Содержание введение
- •Заключение
- •Литература
3.2.2. Метод экспоненциального сглаживания
При построении математических моделей характерным является то, что вся информация о показателе качества ЭС (как текущая, так и полученная в прошлом) имеет одинаковую ценность и используется в расчетах с одинаковым весом.
При анализе реальных технологических процессов исследователь оперирует исходными данными о показателе качества ЭС, определяемыми условиями протекания процесса (показатели сырья и полуфабрикатов, технологические режимы, параметры технологического оборудования и др.) и изменения данных условий с течением времени. Так как эти изменения носят в основном необратимый характер, то наибольшую ценность при решении задач оценки и прогнозирования состояния технологического процесса, а соответственно и показателя качества ЭС, имеют текущие данные. Данные, полученные в прошлом, могут быть либо совсем исключены из рассмотрения, либо использованы при расчетах с меньшим весом по сравнению с текущими. В данном случае необходимо, чтобы математическая модель позволяла как можно точнее аналитически описывать текущие данные о показателе качества ЭС и совсем не обязательно, чтобы она также хорошо описывала данные, полученные в прошлом.
Такие типы моделей можно получить на основе метода экспоненциального сглаживания. Сущность его заключается в том, что временной ряд измеренных значений показателя качества ЭС сглаживается с помощью взвешенной скользящей средней, в которой вес, придаваемый наблюдениям над показателем качества, подчинен экспоненциальному закону, причем более поздним наблюдениям придается больший вес по сравнению с ранними.
Пусть имеется временной ряд наблюдений показателя качества ЭС yt (t=1,2,…,m).
Экспоненциальной средней k-го порядка (k=1,2,…,n) для ряда yt является выражение
,
где - параметр сглаживания («вес»);
i – число периодов отставания от текущего периода времени t.
Для вычисления значения используется выражение [6]
, 0< ≤1 . (10)
Исследования показывают, что практически диапазон значений ограничивается величиной 0,1 – 0,3.
Брауном [6] выведена рекуррентная формула для определения экспоненциальной средней k-го порядка в момент времени t для ряда yt в виде:
. (11)
Из формулы (11) экспоненциальную среднюю первого порядка, т.е. среднюю, получаемую непосредственно при сглаживании данных наблюдений (первичное сглаживание), можно представить в виде:
или
. (12)
Из выражения (12) следует, что экспоненциальная средняя для момента времени t представляет собой линейную комбинацию всех наблюдений от до , вес которых возрастает по геометрической прогрессии со временем. В этом выражении является величиной, характеризующей некоторые начальные условия и относящейся к периоду, предшествующему имеющемуся ряду динамики . Если есть соответствующие данные, то в качестве начального условия принимается среднее значение наблюдений, относящихся к прошлому; в противном случае в качестве принимается первое наблюдение, т.е. .
Построение математической модели для прогнозирования показателя качества ЭС y на основе метода экспоненциального сглаживания покажем на линейной модели вида:
. (13)
На основе теоремы Брауна-Майера [6] система уравнений, связывающих оценки коэффициентов и модели (13) с экспоненциальными средними и , имеет вид:
.
Решив ее относительно и , получим:
, (14)
. (15)
Тогда прогнозируемое значение у по модели (13) равно:
, (16)
где - интервал прогноза, =1,2,….L.
Ошибка прогноза при этом равна [6]:
, (17)
где - средняя квадратическая ошибка, вычисленная для отклонений от линейного тренда.
Аналогичным образом вычисляются оценки коэффициентов и ошибка прогноза для моделей более высокого порядка. Формулы расчетов для квадратичной модели приведены в [6].
Рассмотрим применение метода экспоненциального сглаживания на конкретном примере.
Пример. На стадии производства (при испытаниях на долговечность) электронно-лучевых приборов – вычитающих потенциалоскопов типа ЛН9 – был получен следующий временной ряд изменения тока катода прибора: 745; 770; 725; 740; 710; 681; 662, т.е.
, t=1,2,…., m=7. (18)
Замеры производились от 0 до 300 ч. через каждые 50ч.
Тренд ряда (18) можно аппроксимировать линейной моделью
, (19)
полученной методом наименьших квадратов, при этом вычисленное среднее квадратическое отклонение от линейной модели =17,6 .
Вычислим прогноз величины на момента времени Тпр =350 ч (прогноз на 50 ч), используя данные ряды (18) методом экспоненциального сглаживания.
Сначала по формуле (10) рассчитаем величину при m=7, а по формулам, приведенным в [6], найдем начальные условия:
=0,25; =831; =879.
Затем по рекуррентной формуле (11) вычислим значения и , а из выражений (14) и (15) – значения коэффициентов и : =717,6; =767,6; =667,6; =-16,7.
Тогда с учетом выражения (16) получим у8=667,6-16,7=650,9, т.е. =650,9 , при этом ошибка прогноза, вычисленная по формуле (17), равна =11,1 .
Результат прогноза тока катода хорошо согласуется с экспериментальным значением =649 , полученным после испытаний потенциалоскопа на долговечность.
При использовании для прогноза модели (19), полученной методом наименьших квадратов, имеем у8=655, т.е. =655 , что существенно по сравнению с .
Таким образом, применение метода экспоненциального сглаживания для построения модели прогнозирования качества потенциалоскопа позволило повысить точность прогноза в сравнении с методом наименьших квадратов.
Метод экспоненциального сглаживания целесообразен и эффективен при построении математических моделей в случаях, когда текущим наблюдениям над показателем качества необходимо придать больший вес по сравнению с прошлым.