- •Ю.В.Захаров Математическое моделирование
- •Введение
- •1. Основные сведения из теории вероятностей и
- •1.1. Случайные величины. Выборка
- •1.2. Законы распределения случайных величин
- •Экспоненциальный закон распределения
- •Hормальный закон распределения (hзр)
- •1.3. Числовые характеристики случайных величин Характеристики положения
- •Характеристики рассеяния
- •1.4. Статистическая проверка гипотез
- •Гипотеза о равенстве дисперсий
- •Гипотеза об однородности дисперсий
- •Гипотеза о равенстве средних
- •Гипотеза о законе распределения случайной величины
- •1.5. Ошибки измерения физических величин и методы
- •Случайные, систематические и грубые ошибки
- •Методы исключения резко выделяющихся результатов эксперимента
- •Табличные значения критерия Романовского
- •2. Выбор наиболее существенных факторов объекта
- •2.1. Метод экспертных оценок
- •Матрица рангов параметров
- •Сумма рангов и коэффициент весомости
- •Сводные результаты экспертизы
- •2.2. Метод начальных моментов
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •Общая постановка и решение задачи да
- •Однофакторный да
- •3. Математическое моделирование в технологии
- •3.1. Методы математического моделирования
- •3.2. Пассивный эксперимент для мм
- •3.2.1. Регрессионный анализ.
- •Примеры.
- •3.2.2. Метод экспоненциального сглаживания
- •3.2.3. Корреляционный анализ.
- •3.2.4 Оценка адекватности мм.
- •3.3. Активный эксперимент для мм
- •3.3.1. Вид и алгоритм построения математической модели
- •3.3.2. Полный факторный эксперимент типа 2k.
- •Проверка воспроизводимости эксперимента
- •Вычисление коэффициентов модели.
- •Примеры вычислений коэффициентов пфэ 22
- •Проверка значимости коэффициентов модели.
- •Проверка адекватности модели.
- •Анализ и синтез тп по полученной модели.
- •Получение математической модели с учетом взаимодействий факторов.
- •3.3.3. Дробный факторный эксперимент.
- •В записи плана дфэ 2k-p p означает количество взаимодействий факторов приравненным независимым переменным. Дфэ 23-1 – половина пфэ 23, т.Е. Полуреплика от пфэ 23.
- •3.3.4. Математические модели второго порядка.
- •Контрольные вопросы
- •Заключение
- •Содержание введение
- •Заключение
- •Литература
1.2. Законы распределения случайных величин
Обозначим:
Х - СВ;
х1, х2,..., хi,..., хn - значения СВ;
Р - вероятность появления СВ Х;
р1, р2, ..., рi,..., рn - вероятности появления значений х1, х2,..., хi,..., хn соответственно;
n - объем выборки.
Законом распределения СВ называется любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими вероятностями их появления.
Закон распределения дискретной СВ представляется в виде статистического ряда распределения:
X |
x1 |
x2 |
..... |
xi |
..... |
xn |
Р |
р1 |
p2 |
..... |
рi |
..... |
рn |
где - вероятность принятия СВ значения хi с частотой mi; .
Графическое изображение статистического ряда называется полигоном.
Для непрерывной СВ не существует статистического ряда распределения, но есть аналог, где вместо дискретных значений Х берутся интервалы значений СВ равной длины l, и величины Р представляют отношение числа значений СВ, попавших в данный интервал, к суммарному числу наблюдаемых значений.
Длина интервала l и число интервалов q находится из выражений:
; q = 1 + 3,33lg(n) ,
где xmax и xmin - максимальное и минимальное значение СВ в выборке.
Если значение СВ находится в точности на границе двух интервалов, то условно считается, что оно в равной мере принадлежит к обоим интервалам, и поэтому необходимо прибавить к величинам m того и другого интервала по 0,5.
Графическое изображение полученного закона распределения непрерывной СВ называется гистограммой, где по оси абсцисс откладываются интервалы длиной l (их число равно q), а по оси ординат - прямоугольники с высотой, равной вероятности попадания СВ в i-й интервал (i=1, 2, ..., q).
Hаиболее полную информацию о связи Х и Р дают интегральный и дифференциальный законы распределения.
Интегральный закон распределения (функция распределения) F(x) - вероятность того, что СВ Х меньше некоторой текущей переменой х:
.
F(x) существует как для дискретной, так и для непрерывной СВ.
Свойства функции распределения:
F(x) - неубывающая функция своего аргумента, т.е. при ;
;
.
Статистически функция распределения находится по формуле
, т.е.
Дифференциальный закон распределения (плотность распределения) характеризует плотность, с которой распределены значения СВ в точке Х = х:
Плотность распределения - это производная от функции распределения.
Свойства плотности распределения:
;
Функция распределения от плотности распределения выражается следующим образом:
Экспоненциальный закон распределения
Распределение СВ Х подчиняется экспоненциальному закону, если плотность распределения f(x) имеет вид:
,
где - интенсивность случайного события - постоянная величина.
Тогда
Характерным признаком этого распределения является постоянство значения .
Экспоненциальный закон используется при оценке надежности изделий, отказы которых обусловлены большим количеством входящих в их состав комплектующих элементов.