2.2 Численные методы решения задачи

Для длительности спектрально-ограниченного импульса 100 фс, оценка дисперсионной длины составляет  ~ 600 метров. Таким образом, на трассах длиной около 100 метров дисперсионным расплыванием импульса можно пренебречь, и уравнение (2.1) можно упростить, исключив дисперсию:

. (2.9)

Для численного решения уравнения (2.9) перейдём в к безразмерным переменным: , , , , где . В этих переменных уравнение (2.9) примет вид (штрихи опушены):

, (2.10)

где . Для решения уравнения (2.10) введем сеточную функцию комплексной амплитуды поля E и воспользуемся методом расщепления по физическим факторам. В соответствии с этим методом уравнение (2.10) заменяется цепочкой уравнений, каждое из которых решается на n-ом шаге вдоль координаты z:

• дифракционное уравнение

, (2.11)

с начальным условием ;

• нелинейное уравнение, учитывающее нелинейную плазменную дефокусировку и керровскую самофокусировку

, (2.12)

с начальным условием ;

• уравнение, учитывающее турбулентные флуктуации показателя преломления в атмосфере

, (2.13)

с начальным условием . Решение последнего уравнения принимается за искомый результат в конце n-ого шага: .

При численном решении уравнения (2.10) на каждом временном слое интегрировалось уравнение (2.3) и вычислялось новое значение плазменной добавки к показателю преломления по формуле (2.2).

Линейная задача дифракции (2.11) решалась спектральным методом. Запишем обратное преобразование Фурье в виде:

, (2.14)

где – Фурье-образ функции , и – пространственные частоты. Подставляя (2.14) в (2.11), получим уравнение для пространственных гармоник:

. (2.15)

Решение (2.15) на n-ом шаге можно представить в виде

, (2.16)

где – размер шага по продольной координате.

Используя обратное преобразование Фурье (2.14), из (2.16) получаем решение задачи дифракции на n-ом шаге вдоль координаты z – . При применении преобразования Фурье использовался алгоритм быстрого преобразования с одинаковым числом узлов сетки в поперечных направлениях N_x, N_y равных целой степени числа 2.

Рассмотрим нелинейное уравнение (2.12). Решение (2.12) на n-ом шаге по z можно приближенно представить в следующем виде:

, (2.17)

где – нелинейное изменение фазы комплексного поля.

3. Особенности численного решения задачи филаментации

3.1 Проблема решения задачи на персональном компьютере

При численном решении уравнения (2.10) время выступает как параметр, что предполагает введение расчетной сетки в 3D+1 пространстве (x,y,z+t). При этом в поперечном сечении (x, y) линейный размер расчетной сетки L_x должен в несколько раз превышать радиус пучка a₀, а ее шаг быть много меньше диаметра филамента d₀. Таким образом, оценка необходимого числа узлов расчетной сетки вдоль поперечной координаты составляет величину порядка N_x = 10⁴. Следует отметить, что в задаче присутствуют также пространственные масштабы, определяемые характерными размерами турбулентных флуктуаций показателя преломления . При этом внешний масштаб турбулентности L₀, как правило, существенно превышает размер пучка a₀. Однако его влияние на распространение импульса учитывается в рамках модели фазовых экранов без введения дополнительных пространственных узлов расчетной сетки (см. параграф 2.2).

Если в качестве оценки сверху для шага расчетной сетки в направлении продольной координаты выбрать дифракционную длину для поперечного масштаба филамента, то такая оценка для излучения с длиной волны  = 800 нм дает значение  = 1 см. В результате число продольных шагов расчетной сетки N_z на трассе длиной L = 100 м должно составлять не менее N_z = 1000, а полное число N = N_x·N_y·N_z только пространственных узлов расчетной сетки (в предположении N_x = N_y) составит величину N = 10¹¹. При этом число временных слоев N_t также должно быть порядка N_t = 10³.

Исходя из выполненных оценок видно, что для оперативного хранения значений комплексной амплитуды поля E в пространственных узлах расчетной сетки потребуется около 800 Гбайт ОЗУ. Это превышает возможности персональных компьютеров и требует использования высокопроизводительных вычислительных комплексов, например, кластеров.