8. Вычисления в полях вычетов

Рассмотрим некоторые особенности вычислений в полях вычетов. Найдем, например, определитель , элементы которого суть вычеты из поля (Z₃, +₃, ₃). Если действовать "по науке", надо писать

d=(1 ₃ 1) –₃ (2 ₃ 2),

где x –₃ y = x +₃ (–y). Вычисляя шаг за шагом, получим

1 ₃ 1 = 1, 2 ₃ 2 = 1, 1 –₃ 1 = 0.

Можно, однако, поступить проще. Будем считать элементы определителя обычными целыми числами из кольца Z, тогда d=11–22= –3.

Как найти для целого числа из Z соответствующий вычет из Z_n? Для этого надо к числу прибавить (или отнять от него) величину, кратную n, чтобы результат принадлежал множеству вычетов Z_n={0,1,,n–1}. В данном случае прибавим 3 и получим –3+3=0 – тот же результат.

В дальнейшем станем действовать аналогично, к тому же не будем педантично ставить индекс +_n, _n около символов операций, обозначая их просто + и  , если значение индекса n ясно из контекста.

Рассмотрим решение системы линейных уравнений над полем вычетов.

Пример. Решим над тремя полями: Q, Z₃, Z₅ систему уравнений AX=B, где . т.е.

Заметим, что коэффициенты системы (0, 1 и 2), включая свободные члены, можно рассматривать не только как числа (т.е. элементы поля Q), но и как элементы интересующих нас конечных полей Z₃ и Z₅. В противном случае постановку задачи пришлось бы как-то изменять.

Решать систему будем по правилу Крамера. Вычислим над полем Q четыре опре­делителя:

.

Значения неизвестных найдем по формулам Крамера: .

Приведем значения определителей в поле вычетов Z₃={0,1,2}, получим: =0, _x=2, _y=2, _z=2. Видим, что над этим полем система несовместна.

Приведем значения определителей в поле вычетов Z₅={0,1,2,3,4}: =2, _x=4, _y=1, _z=4. Значения неизвестных снова найдем по формулам Крамера: . Как понимать найденное значение неизвестной ? Дробь не является элементом поля Z₅, поэтому ее надо рассматривать как выражение, которое необходимо вычислить согласно правилам действий в этом поле: (поскольку произведение 23=6, а 6 в поле Z₅ переходит в 1). Итак, решение системы уравнений над полем Z₅ таково: x=2, y=3, z=2.

Сделаем проверку (символом  обозна­чен переход от целых чисел к вычетам по модулю 5). Первое уравнение: 12+22=6  1, второе уравнение: 13+22=7  2, третье уравнение: 22+12=6  1. Видим, что найден­ные значения вычетов удовлетворяют сис­теме уравнений над полем Z₅.

Решим ту же систему над полем Z₃ методом Гаусса. Составим расширенную матрицу: . Если бы мы решали систему над полем рациональных чисел Q, то первым шагом выполнили бы операцию (3)–2(1). В поле Z₃ коэффициенту –2 соответствует вычет 1, поэтому выполним операцию (3)+1(1). В 1-ом столбце имеем 2+11=30, во 2-ом столбце сохранится 0, в третьем столбце 1+12=30, в столбце свободных членов 1+11=2, так что . В алгебраической форме 3-е уравнение этой системы имеет вид 0x+0y+0z=2. Очевидно, что оно не имеет решения, поэтому система над полем Z₃ несовместна.

Найдем решение той же системы над полем Z₅ методом Гаусса. Вместо операции (3)–2(1), с которой начинается решение этой системы над полем рациональных чисел Q, выполним операцию (3)+3(1), поскольку в поле Z₅ коэффициенту –2 соответствует вычет 3. В 1-ом столбце получим 2+31=50, во 2-ом столбце сохранится 0, в третьем, в 3-ем столбце имеем 1+32=72, в столбце свободных членов 1+31=4. Таким образом, получим . 3-ю строку этой матрицы можно сократить (разделить) на 2: .

Теперь выполним операции (1)+3(3) и (2)+3(3) – в 1-й и во 2-й строках 3-го столбца получится 2+31=50, остальные элементы этих строк сохраняться: .

Видим, что получилось решение, ранее найденное по правилу Крамера: x=2, y=3, z=2.

28