8. Алгебра множеств

В основе лежит некоторое непустое множество U, которое на­зы­вается универс. Базовое множество M алгебры множеств есть множество всех подмножеств универса (его также называют булеан множества U). Символически это записывают так: M=2^U. Пусть, например, U={p,q,r}, тогда базовое множество M=2^U состоит из 2³=8 подмножеств:

M={,{p},{q},{r},{p,q},{p,r},{q,r},{p,q,r}}.

Бинарные операции на булеане: объединение (), пересечение (), разность (\). Еще одна бинарная операция – симметрическая разность ():

AB=(A\B)(B\A)=(AB)\(AB).

Так, для указанного выше примера имеем:

{p,r}{q,r}={p,q,r}, {p,r}{q,r}={r},

{p,r}\{q,r}={p}, {q,r}\{p,r}={q}, {p,r}{q,r}={p,q}.

Унарная операция на булеане – дополнение множества до универса, обозначается чертой сверху: для множества A дополнение есть . Для указанного выше примера и т.п.

9. Операции с нефиксированным числом опе­ран­дов

Базовое множество – вещественные числа R.

n-местные операции –

минимум из n чисел: x_min=min(x₁, x₂,, x_n),

максимум из n чисел: x_max=max(x₁, x₂,, x_n),

среднее арифметическое из n чисел: x_сред.= .

Более сложно определяется медиана заданных n чисел: это такое значение x_мед, что количество чисел x_i, для которых x_ix_мед равно количеству чисел x_i, для которых x_ix_мед. Если расположить все чис­ла x_i по возрастанию, медианой является то, которое окажется в середине упорядоченного списка (в случае нечетного n) или любое число, лежащее строго между двух чисел, оказавшихся в середине (в случае четного n), для определенности берут полусумму этих двух чисел. Так, для чисел 4,2,5 имеем x_мед=4 (после упорядочения 2<4<5), для чисел 4,2,5,2 имеем x_мед=3 (после упорядочения 2=2<4<5, ).

Из этих примеров видно, что многообразие алгебраических систем необозримо велико, реально общая алгебра изучает лишь небольшое число сравнительно простых случаев. Характерной особенностью всех изучаемых алгебраических систем является следующее. В общих определениях ничего конкретного не говорится об элементах-участниках алгебраических операций (хотя в примерах эти элементы как-то конкретизируются), алгебраические операции только называются (обозначаются), никаких "рецептов" для вычисления результатов операций не предлагается. Содержательно операции задаются своими свойствами. Этому вопросу и уделяется основное внимание в общей алгебре.

2. Свойства алгебраических операций

Рассмотрим произвольное непустое базовое множество M и за­данную на нем бинарную операцию, которую обозначим . Для любых элементов x,yM имеем результат операции z=xy, причем zM, т.е. множество M замкнуто относительно операции . Таковы почти все операции из примеров 1–9 (кроме оговоренных случаев), однако операции типа умножения вектора на число или скалярного умножения векторов исключаются из рассмотрения.

1. Коммутативность

Операция  называется коммутативной, если для любых x,yM выполняется равенство xy=yx.

Таковы операции сложения чисел, сложения векторов, сложения матриц, умножения чисел, НОД и НОК, дизъюнкция и конъюнкция, XOR, сложение и умножение по модулю n. Напротив, умножение матриц этим свойством не обла­дает (хотя имеются примеры перестановочных матриц, для которых AB=BA). Также некоммутативно (антикоммутативно) векторное умноже­ние геометрических векторов – для него xy= –yx. Некоммутативна композиция многочленов (и вообще функций). Так, выше приводился пример композиции f_g многочленов f(x)=x², g(x)=x³+1, ее результат f(g(x))=(x³+1)²=x⁶+2x³+1. Если же взять композицию g_f, получится g(f(x))=(x²)³+1=x⁶+1.

В алгебре логики некоммутативна импликация  (логическое следование).

Формальная операция  на множестве M={a,b,c}, заданная таблицей 1.4, коммутативна, поскольку заполнение этой таблицы симметрично относительно ее главной диагонали.

В алгебре множеств коммутативны объединение, пересечение и симметрическая разность, обычная разность, разумеется, некоммутативна.