3. Алгебра матриц

Базовое множество – квадратные матрицы некоторого порядка n.

Бинарные операции: сложение (+) и умножение () по правилу "строчка на столбец". Можно ввести и деление, даже два разных: правое (/) и левое (\). Если матрица B невырожденная, то A/B=AB^–1, B\A= B^–1A; ясно, что оба деления – частичные операции.

4. Алгебра многочленов

Базовое множество – многочлены от какой-то переменной, например от x. В зависимости от того, какими могут быть их коэффициенты, множество мно­гочленов обозначается Z[x], Q[x], R[x], C[x].

Бинарные операции: сложение (+), умножение (), вычитание (–). Деление, вообще говоря, невозможно. Однако если коэффициенты допус­кают деление (кроме деления на 0), то возможно деление многочленов с остатком. Так, путем "деления уголком" найдем

(x²+1) div (x)=x, (x²+1) mod (x)=1,

поскольку (x²+1)=xx+1 и при этом степень многочлена-остатка 1 (она равна 0) меньше степени многочлена-делителя x (она равна 1).

(2x²+x) div (3x+1)= , (2x²+x) mod (3x+1)= ,

поскольку (2x²+x)= (3x+1)( ) и при этом степень многочлена-остатка (она равна 0) меньше степени многочлена-делителя 3x+1 (она равна 1).

Еще одна операция с многочленами – композиция. Если заданы два многочлена f(x) и g(x), их композицией называется многочлен h(x), кото­рый получается, если в выражение многочлена f(x) вместо x подставить g(x): h(x)=f(g(x)). (В матанализе это называется "сложной функцией" или "функцией от функции".)

Пусть, например f(x)=x², g(x)=x³+1, тогда h(x)=f(g(x))=(x³+1)².

Для обозначения композиции используется символ "кружочек" (_) или просто точка (), как при умножении, т.е. h=f_g или h=fg. Не следует путать эту операцию с "арифметическим умножением", т.е. перемножением значений мно­гочленов. Для тех же многочленов f(x) и g(x) при ариф­метическом умножении получится совсем другой результат:

f(x)g(x)=x²(x³+1)=x⁵+ x².

Понятие композиции можно распространить на произвольные функции (рассматривать, например, ln(sin(x)) и т.п.), но тогда возникнут вопросы, связан­ные с областью определения и областью значений – входит ли область значе­ний функции g(x) в область определения функции f(x)? Многочлены в этом от­ношении "хорошие" функции – они определены при всех xZ (а также и при всех xQ, xR, xC).

5. Векторная алгебра

Заданы два базовых множества: множество геометрических векторов трех­мерного пространства V и множество вещественных чисел R.

Операции:

вся арифметика для чисел,

сложение и вычитание векторов (результат – вектор),

умножение вектора на число (результат – вектор),

скалярное умножение векторов (результат – число),

векторное умножение векторов (результат – вектор),

смешанное произведение трех векторов (результат – число).

Все операции бинарные, кроме смешанного произведения, эта опера­ция тернарная.

6. Алгебра логики

Базовое множество состоит из двух элементов: "истина" и "ложь", которые принято обозначать 1 и 0 соответственно, так что множество M={0,1}.

Две основные бинарные операции "И" (конъюнкция), "ИЛИ" (дизъюнкция), в математических формулах их принято обозначать  для "И",  для "ИЛИ" (вместо  используется также знак & и обычная точка, как при умножении).

Еще две бинарные операции: "исключающее ИЛИ" (как в грабительском требовании "кошелек или жизнь"), в некоторых языках программирования эта операция обозначается XOR, и логиче­ское следование (импликация), которое обозначается .

Конкретный смысл операций алгебры логики задается таблицами.

Логические операции Таблица 1.1

x y	x  y	x  y	x XOR y	x  y
0 1 0 1 1	0 0 0 1	0 1 1 1	0 1 1 0	1 1 0 1

Еще одна операция алгебры логики – отрицание. Эта операция унарная (одноместная), она обозначается или  x. При x=0 значение =1, при x=1 значение =0.

Последний пример является введением к конечным алгебраическим системам, когда базовое множество содержит лишь конечное число элементов.