2. Нейтральный элемент

Элемент eM называется нейтральным относительно рассматриваемой операции , если для любого xM выполняются равенства xe=x и ex =x.

Относительно сложения чисел нейтральным является число 0, относительно сложения векторов – нуль-вектор 0, относительно сложения матриц – нуле­вая матрица надлежащего размера (т.е. матрица, заполненная нулями), относи­тельно умножения чисел – число 1, относительно умножения квадратных мат­риц – единичная матрица E надлежащего порядка.

Имеются ли нейтральные элементы относительно операций НОД и НОК на множестве натуральных чисел N? Относительно НОД такого элемента нет хотя бы потому, что НОД(x,y)min(x,y). Относительно НОК нейтральным элементом является 1, поскольку НОК(x,1)=x.

Относительно векторного умножения  нейтрального элемента нет.

Относительно сложения многочленов нейтральным элементом является ну­левой многочлен, относительно их умножения – многочлен нулевой степени, константа 1. Относительно композиции многочленов _ нейтральным элементом является тождественная функция e(x)=x (многочлен степени 1).

В алгебре логики нейтральным элементом относительно конъюнкции  является "истина ", т.е. 1, а относительно дизъюнкции  и XOR – "ложь", т.е. 0. Относительно импликации  нейтрального элемента нет.

Относительно сложения по модулю n нейтральным элементом является 0, относительно умножения по модулю n нейтральным элементом является 1.

Относительно формальной операция  на множестве M={a,b,c}, заданной таблицей 1.4, нейтральным элементом является a, поскольку строка таблицы, соответствующая этому элементу, совпадает с шапкой таблицы, а столбец, соответствующий этому элементу, совпадает с боковиком таблицы.

В алгебре множеств относительно объединения и относительно симметрической разности нейтральным элементом является пустое множество , относительно пересечения нейтральным элементом является универс U.

Следующий пример имеет нестандартный характер. Рассмотрим множество целых чисел Z (можно было бы взять множество рациональных чисел Q или множество вещественных чисел R или даже множество комплексных чисел C) и определим на нем операцию: xy=x+y–1. Вопрос: имеется ли для этой операции нейтральный элемент e? Для него должно выполняться равенство xe=x при любом x. В левой части xe=x+e–1, в правой части просто x. Приравнивая, получим x+e–1=x, откуда e=1. Таким образом нейтральный элемент относительно операции  существует, это 1.

3. Симметричный элемент

Для произвольного элемента xM симметричным элементом называется такой M, что x =e и x=e (существование нейтрального элемента e предполагается).

Если операция есть сложение чисел, то e=0, симметричным к числу x является число –x.

Если операция есть сложение векторов, то e=0 (нуль-вектор), симметричным к вектору x является вектор –x.

Если операция есть умножение чисел, то e=1, симметричным к числу x является число x^–1. Поскольку x^–1 существует только для x0, необходимо более аккуратно определить базовое множество M. Потребуем, например, чтобы это были рациональные (или вещественные, или комплексные) числа, отличные от нуля. Если x0 и y0, то и z=xy0, так что операция на этом множестве определена корректно (множество замкнуто относительно операции).

Аналогично обстоит дело в случае, когда операция есть умножение квадратных матриц. Нейтральным элементом e является единичная мат­рица E, сим­метричной к матрице X является обратная матрица X^–1. Но обратная матрица существует только в случае, когда матрица X невырождена, т.е. detX0. Пусть базовое множество M состоит из квадратных невырожденных мат­риц некото­рого порядка n. Замкнуто ли это множество относительно операции умножения матриц? Иными словами, если detX0 и detY0, а Z=XY, можно ли быть уверенным, что detZ0? Ответ положительный, поскольку в алгебре матриц доказывается, что определитель про­изведения равен произведению определите­лей, т.е. det(XY)=detXdetY.

Относительно операции НОК на множестве натуральных чисел существует нейтральный элемент – это e=1. Однако для произвольного xN не существует симметричного элемента , для кото­рого выполняется условие НОК(x, )=1 – хотя бы потому, что НОК(x,y)max(x,y).

В алгебре многочленов относительно операции сложения, где нейтральный элемент – нулевой многочлен, симметричным к многочлену f(x) является многочлен –f(x), получающийся сменой знаков у всех коэффициентов. Относительно операции умножения симметричные многочлены существуют только для многочленов нулевой степени, т.е. для чисел, отличных от 0. В самом деле, если взять f(x)=x+2, то функция не является многочленом.

Многочлен , симметричный многочлену f(x) относительно композиции, должен удовлетворять соотношениям и . Пусть f(x)=x². Тогда этим соотношениям более или менее удовлетворяет функция , но, во-первых, это не многочлен, а во-вторых, есть проблема с областью опре­деления и с неоднозначностью функции . Поэтому, чтобы иметь симметричные элементы относительно композиции, ограничим базовое множество многочленами первой степени, т.е. линейными функциями вида f(x)=ax+b. Тогда, если y=ax+b, то . Чтобы получить функцию , симметричную линейной функции f(x)=ax+b относительно композиции, переобозначим переменные в выражении x через y и получим . Ясно, что симметричная функция существует только при a0. Линейные функции с коэффициентом a0 будем называть невырожденными (а с a=0 – вырожденными).

Множество невырожденных линейных функций замкнуто относительно композиции. В самом деле, пусть f(x)=a₁x+b₁ а g(x)=a₂x+b₂ , тогда их композиция f_g задается выражением

f(g(x))=a₁(a₂x+b₂)+b₁=a₁a₂x+ (a₁b₂+b₁),

т.е. снова получается невырожденная линейная функция.

В алгебре логики, если операция есть конъюнкция  (нейтральный элемент e=1), симметричного элемента для произвольного x нет. Если операция есть дизъюнкция (нейтральный элемент e=0), симметричного элемента для произвольного x также нет. Если операция есть XOR (нейтральный элемент e=0), симметричным эле­ментом для произвольного x является он сам: x XOR x=0.

Для формальной операции  на множестве M={a,b,c}, заданной таблицей 1.4, где нейтральным элементом является a, симметричным для b является c, а для c симметричным является b, поскольку согласно этой таблице bc = cb = a, симметричным элементом для a является сам a.

В алгебре множеств относительно объединения и пересечения симметричных элементов нет, относительно симметрической разности симметричным эле­ментом для любого множества A является оно само, поскольку AA=, а ней­тральным элементом относительно  как раз и является пустое множество .

Снова рассмотрим операцию: xy=x+y–1. Вопрос: имеется ли относительно этой операции симметричный элемент для любого числа x? Должно существовать такое число , что x =e. В левой части x =x+ –1, в правой части e=1. Приравнивая, получим x+ –1=1, откуда =2–x. Таким образом, симметричный элемент относительно операции  существует для любого числа.