2.1 Цель работы

Целью работы является изучение метода минимизации ФАЛ, основанного на использовании карт Карно и овладение навыками построения комбинационных схем в различных функциональных базисах.

2.2. Теоретическая часть

2.2.1. Функционально полные системы ФАЛ, базис и его выбор

При построении логических схем, целесообразно сократить число используемых при этом элементов. Выбор логических элементов сводится к отысканию функционально полного набора ФАЛ, описывающего любые логические схемы. Система ФАЛ называется функционально полной, если с помощью функций, входящих в эту систему, применяя операции суперпозиции и подстановки, можно получить любую, сколь угодно сложную ФАЛ.

В АЛ существует 5 замечательных классов функций, которые обладают важным свойством, заключающимся в том, что любая ФАЛ, полученная из функций данного класса с помощью операций суперпозиции и подстановки, обязательно будет принадлежать к тому же классу. Такими функциями являются: функции сохраняющие константу ноль; функции сохраняющие константу единица; монотонные; линейные и самодвойственные ФАЛ.

Функциями, сохраняющими константу ноль (единица) называются ФАЛ всегда равные нулю (единице) на нулевом (единичном) наборе аргументов. Для этих функций справедливо одно из соотношений:

. (1)

Линейными являются ФАЛ, которые могут быть представлены полиномом первой степени, вида:

, (2)

где – константы, равные нулю или единице.

Монотонными называются ФАЛ не убывающие при любом возрастании аргументов.

Самодвойственными называются ФАЛ, которые на двух противоположных наборах аргументов, принимают противоположные значения.

В табл. 2.1. принадлежность каждой функции двух переменных к тому или иному классу отмечена знаком «+».

Таблица 2.1

Принадлежность фал двух переменных к замечательным классам функций

Аргументы и тип ФАЛ		f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12	f13	f14	f15
a	b
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
Сохраняет «0»		+	+	+	+	+	+	+	+
Сохраняет «1»			+		+		+		+		+		+		+		+
Самодвойственная					+		+					+		+
Монотонная		+	+		+		+		+								+
Линейная		+			+		+	+			+	+		+			+

В соответствии с теоремой Поста – Яблонского, для того, чтобы ФАЛ была функционально полной, необходимо и достаточно, чтобы она содержала хотя бы одну функцию, не сохраняющую константу “0”, хотя бы одну функцию, не сохраняющую константу “1”, хотя бы одну не самодвойственную функцию, хотя бы одну нелинейную функцию, хотя бы одну не монотонную функцию. Следовательно, в функционально полную систему ФАЛ двух переменных должны входить функции, совместно перекрывающие колонки табл. 2.1. клетками, не помеченными символом «+».

Существуют различные функционально полные системы ФАЛ: отрицание дизъюнкции («ИЛИ-НЕ»); отрицание конъюнкции («И-НЕ»); константа ноль и импликация; отрицание и конъюнкция; отрицание и дизъюнкция и т.д. Функционально полный набор ФАЛ, используемый для реализации логических схем называется базисом. Наиболее удобным для представления ФАЛ является базис, содержащий конъюнкцию, дизъюнкцию и инверсию («И», «ИЛИ», «НЕ»). Использование трех функций упрощает описание схем, однако, как видно из табл. 2.1, любую ФАЛ можно построить, используя и только одну функцию «И-НЕ» или функцию «ИЛИ-НЕ». Базисы «И-НЕ» и «ИЛИ-НЕ» также получили широкое распространение, благодаря возможности существенно уменьшить число унифицированных логических элементов.

При переводе ФАЛ из одного базиса в другой используется закон двойного отрицания и закон двойственности (правило де Моргана), применение которых иллюстрирует следующий пример:

в базисе «И, ИЛИ, НЕ»: , (3)

в базисе «И-НЕ»: , (4)

в базисе «ИЛИ-НЕ»: . (5)