1.2.3. Формы представления фал

При анализе и синтезе дискретных устройств часто удобно представлять ФАЛ к конъюнктивной и дизъюнктивной нормальных формах.

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция любого конечного множества элементарных произведений. Конъюнктивной нормальной формой называется произведение любого конечного множества элементарных дизъюнкций. Под элементарным произведением или элементарной дизъюнкцией понимается выражение, представляющее собой соответственно произведение или дизъюнкцию любого конечного множества, попарно различных между собой букв алфавита данной функции, над частью которых могут быть поставлены знаки отрицания.

Примером задания ФАЛ в форме ДНФ и КНФ, соответственно могут служить функции:

, (3)

. (4)

Элементарные дизъюнкции (произведения) являются конституентами единицы (соответственно конституентами нуля) для данного множества М переменных, если они в прямом или инверсном виде содержат все переменные алфавита данного множества. ДНФ (соответственно КНФ) называется совершенной, если все составляющие ее элементарные произведения (соответственно элементарные дизъюнкции) являются конституентами единицы (нуля) для одного и того же множества М переменных. Примером задания ФАЛ в форме ДСНФ и КСНФ могут соответственно служить функции:

, (5)

. (6)

Любая ФАЛ имеет одну ДСНФ и КСНФ. Для получения совершенных нормальных форм существуют различные способы, основными из которых являются: аналитический и табличный. Аналитический способ основывается на использовании теоремы разложения, которая при разложении ФАЛ по одной переменной (например x₁) записывается следующим образом:

, (7)

. (8)

Для получения совершенных нормальных форм необходимо осуществить разложение ФАЛ по каждой из переменных.

Табличный способ получения совершенных нормальных форм основывается на использовании функции или карты Карно. Для получения ДСНФ выписываются все элементарные произведения, соответствующие наборам переменных, на которых ФАЛ принимает единичное значение. При получении КСНФ выписываются все элементарные дизъюнкции, соответствующие наборам переменных, на которых функция обращается в ноль, причем каждая из входящих в элементарные дизъюнкции переменных, инвертируется. Ниже в качестве примера приведена запись в форме ДСНФ и КСНФ функции f, заданной таблицей истинности, представленной на рис.1.1.

, (9)