- •1.Пространство rⁿ
- •2.Метрическое пространство, евклидово пространство.
- •3.Основные или важнейшие множества точек пространства
- •3.Функции n-переменных.
- •4.Сходимость в пространтсве Rn.
- •6.Предел функции нескольких переменных.
- •8.Повторные пределы.
- •9.Непрерывность функции нескольких переменных.
- •10.Непрерывность функции нескольких
- •11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных
- •12. Частные производные ф-ии нескольких переменных
- •13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных
- •14. Дифференциал функции нескольких переменных
- •15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных
- •16. Дифференцирование сложной ф-ии
- •17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях
- •18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
- •19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных
- •20. Производная по направлению
- •22.Частные производные высшего порядка.
- •23.Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка ф-ции двух переменных.
- •24.Производные высших порядков.
- •27. Экстремум функции многих переменных.
- •28.Достаточные услов локальн экстрем ф-ций нескол перемен.
- •28. Критерий Сильвестра
- •29.Определение наибольшего и наименьшего значения
- •30.Не явные ф-ции.
- •31.Вычисление частных производн неявно заданных ф-ций.
- •32.Неявные ф-ции определ систем функцион уравнений.
- •33. Зависимость ф-и нескольких переменных
- •34.Функциональные матрици
- •35. Усл.Экстремум
- •36.Метод неопредёлённых множетелей Логранжа.
- •37.Числовой ряд. Сходимость, расходимость рядов.
- •38.Необход признак сходим ряда.
- •39. Признак сравнения рядов
- •40.Признак Даламбера.
- •41.Признак Коши.
- •42. Интегральный признак Коши
- •43. Признак Лейбница
- •44. Абсолютная сходимость рядов
- •45. Признаки Дирихле и Абеля
- •47.Функциональные последовательности и ряды.
- •48.Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •49.Свойства равном сходящ функции рядов.
- •50.Степенные ряды.
- •55.Ряд Фурье для четн. И нечетн. Ф-ий:
- •56.Ряд Фурье для ф-ций заданных на отрезке .
24.Производные высших порядков.
Пусть дана сложная функция U=f(x1,x2,…,xn),где
X1=γ1(t1…tk)
X2= γ2( t1…tk)
Xn= γn( t1…tk)
Относительно ф-ции f, γ1… γn предположим,что они имеют непрерывные частные производные по всем перемен-м до порядка m включительно.
Теорема: Кажд. Произв. Порядка m сложной ф-ции U сущ-т и составляется из произв-х ф-ции f(x1,x2,…,xn) и ф-ций γ1… γn по аргументу t1…tk порядка, не выше m путём умножений и сложений.
25.Дифференциалы высших порядков.
Пусть дана ф-ция U=f(x1,x2,…,xn) и непрерывные частн. Произв. 1ого порядка, диф-ал этой функции dU=
Предположим, что выражение стоящее в правой части этого рав-ва представ. Собой ф-цию аргументов x1…xn диф-я в дан. Т. M(x1…xn). Для этого достаточно потребов., чтоб ф-ция U была 2-ды диф. В т. M, а аргументы x1…xn явл. Либо независим переменными, либо 2-ды диф-мы ф-циями аргументов t1…tn.
При эт. Предположениях можно говорить о полном диф-ле от d(dU) к-ый наз. Диф-лом 2ого порядка от ф-ции U и обознач. d(dU)=d2U. Аналогично определяются и диф-лф порядака d3U и т.д
26.Формула Тейлора для ф-ции нескольких переменных Теорема:
Пусть k 0 целое число, ф-ции U=f(x1,x2,…,xn) задана в нек-ой окрестности т. М(x10…xn0) и к+1 раз диф-ма в указ. Окр-ти , тогда полное приращение M1)-f’(M0) эт. Ф-ция в т. Ь может быть представлена в след. Виде
Где N некоторая т. Указан. Окрестн-ти, зависящая от т.M(x1,x2,…,xn), а диф-лы dxi переменных xi, где i=1,2…, входящие в выражение ,
Равны
Эта формула Тэйлора для ф-ции U=f(x1,x2,…,xn) с центром разложения в т. M0, а последний член формулы наз-ся остаточным членом в формуле Лагранджа
27. Экстремум функции многих переменных.
Опр. Пусть f(x) определена на X Rn. Точка x0Х
называется точкой строгого максимума (строгого минимума), если xU(x0)X, xx0 вып f(x)<f(x0) (f(x)>f(x0)). Если стоит знак ≤(≥), то нестрогий максимум (нестрогий минимум), т. х0 называется экстремумом.. Th (необходимое условие
экстремума) Пусть f(x) x=(x1,…,xn) опр. в окр-ти точки x0. Если x0 явл. точкой экстремума f(x) и если в ней существует f/xj(x0), то f/xj(x0)=0 Док-во: фиксируются все координаты (1x0,..,j-1x0, х, j+1x0,…,nx0) кроме одной xj. Если в т. х=х0 ф-ия имеет экстремум,то ƒ\х(х0) = 0 , чтд.Следствие: если f(x) диф-ма
в точке x0, то dƒ=0. Док-во dƒ= ƒ\x1*dx1 +ƒ\x2*dx2 +…+ƒ\xn*dxn =0.Th (дост. условие экстремума)
Пусть f(x) опр. и имеет непрерывные частные производные до 2-го порядка в некоторой окрестности точки x0. Пусть x0 является стационарной точкой f. (точка называется стационарной, если все частные производные в точке x0 равны 0) Если второй диф-л ф-ии f положительно определен в точке x0, то x0 – точка строгого минимума, если отрицательно определен – строгого максимума. Если в (x0) знаквторого дифференциала определен, то в точке нет ни максимума ни минимума.(экстремума) Коментарий d2f(M0)= 2f/x2(M0)dx2+ 22f/xy(M0)dxdy+ 2f/y2(M0)dy2, где M0(x0,y0). d2f=Adx2+2Bdxdy+Cdy2>0 ,
если f”(x0)>0 – min; f”(x0)<0 – max. Пр d2f=dx2+2dxdy+dy2=(dx+dy)2 ≥0
– непоняd2f=dx2+2dxdy+2dy2=(dx+dy)2+dy2>0 – положительно определен. Критерий Сильвестра d2f=fxxdx2+2fxydxdy+fyydy2
*||fxx fxy fxy fyy||* Если при fxx>0 (*) >0, то dƒ –полож. опр., если при fxx<0 (*) >0,то отриц. опр-н. (Если =0, то теорема и
критерий не действуют.