- •1.Пространство rⁿ
- •2.Метрическое пространство, евклидово пространство.
- •3.Основные или важнейшие множества точек пространства
- •3.Функции n-переменных.
- •4.Сходимость в пространтсве Rn.
- •6.Предел функции нескольких переменных.
- •8.Повторные пределы.
- •9.Непрерывность функции нескольких переменных.
- •10.Непрерывность функции нескольких
- •11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных
- •12. Частные производные ф-ии нескольких переменных
- •13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных
- •14. Дифференциал функции нескольких переменных
- •15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных
- •16. Дифференцирование сложной ф-ии
- •17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях
- •18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
- •19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных
- •20. Производная по направлению
- •22.Частные производные высшего порядка.
- •23.Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка ф-ции двух переменных.
- •24.Производные высших порядков.
- •27. Экстремум функции многих переменных.
- •28.Достаточные услов локальн экстрем ф-ций нескол перемен.
- •28. Критерий Сильвестра
- •29.Определение наибольшего и наименьшего значения
- •30.Не явные ф-ции.
- •31.Вычисление частных производн неявно заданных ф-ций.
- •32.Неявные ф-ции определ систем функцион уравнений.
- •33. Зависимость ф-и нескольких переменных
- •34.Функциональные матрици
- •35. Усл.Экстремум
- •36.Метод неопредёлённых множетелей Логранжа.
- •37.Числовой ряд. Сходимость, расходимость рядов.
- •38.Необход признак сходим ряда.
- •39. Признак сравнения рядов
- •40.Признак Даламбера.
- •41.Признак Коши.
- •42. Интегральный признак Коши
- •43. Признак Лейбница
- •44. Абсолютная сходимость рядов
- •45. Признаки Дирихле и Абеля
- •47.Функциональные последовательности и ряды.
- •48.Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •49.Свойства равном сходящ функции рядов.
- •50.Степенные ряды.
- •55.Ряд Фурье для четн. И нечетн. Ф-ий:
- •56.Ряд Фурье для ф-ций заданных на отрезке .
12. Частные производные ф-ии нескольких переменных
Пусть внутренняя точка области задания ф-ии . Рассм в данной фиксированной точке М отношение частного приращении я к соотв-му приращению
(1)
Это отношение представляет собой ф-ию от , для которой точка принадлежит области определения ф-ии .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если сущ предел отношения (1) частного приращения ф-ии в точке М к соотв-му приращению аргумента , то этот предел наз частной производной ф-ии в точке по переменной и обозначается либо либо . Т.е. частная производная .
ЗАМЕЧАНИЕ 1
Частная производная ф-ии по аргументу представляет собой обычную производную ф-ии одной переменной при фиксированных значениях остальных переменных. Поэтому вычисляются частные производные по обычным правилам вычисления производных ф-ий одной переменной.
ЗАМЕЧАНИЕ 2
Из существования у ф-ии в данной точке всех частных производных вообще говоря не следует непрерывность ф-ии в этой точке.
13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Ф-ия наз диф-ой в данной точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представимо в виде , где - некоторые независящие от числа, - б.м. при , , …, ф-ии, равные нулю Указанные соотношения наз условием диф-сти ф-ии нескольких переменных в данной точке М. это условие может быть записано также в другой форме. Для этого рассмотрим бесконечно малую при , , …, ф-ию . Эта ф-ия обращается в 0 лишь при . Покажем, что сумма представляет собой б. м. ф-ию высшего порядка, чем , т.е., что сумма есть , при справедливо нер-во . Поэтому . Если хотя бы одно из чисел отлично от 0, то сумма представляет собой главную линейную относительно приращения аргумента часть приращения дифференциала ф-ии n.
ТЕОРЕМА
Если ф-ии дифференцируемы в точке , то в этой точке частные производные по всем аргументам, причем частн. произв. , где определяется из условия диф-сти ф-ии.
ДОК-ВО:
Из условия диф-сти ф-ии в точке М следует, что ее частное приращение в этой точке имеет вид поэтому поэтому . Из этой теоремы получаем
СЛЕДСТВИЕ 1
Условие диф-сти ф-ии в данной точке М может быть записано в виде
СЛЕДСТВИЕ 2
Если ф-ия диф-ема в т.М, то представление в указанной форме единственно.
ЗАМЕЧАНИЕ
Если ф-ия диф-ема в т.М, то она и непрерывна в этой точке.
14. Дифференциал функции нескольких переменных
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциалом ф-ии в точке наз главная линейная относительно приращения аргументов часть приращения этой ф-ии в точке М. если все коэф-ты в представлении , то диф-ал ф-ии в точке М считается равным 0. Таким образом диф-ал ф-ии в точке имеет след выражение . Под диф-лом независимой переменной будем понимать любое независящее от число и будем брать это число равным приращению независимой переменной . В результате получаем, что диф-ал ф-ии определяется след выражением .