- •1.Пространство rⁿ
- •2.Метрическое пространство, евклидово пространство.
- •3.Основные или важнейшие множества точек пространства
- •3.Функции n-переменных.
- •4.Сходимость в пространтсве Rn.
- •6.Предел функции нескольких переменных.
- •8.Повторные пределы.
- •9.Непрерывность функции нескольких переменных.
- •10.Непрерывность функции нескольких
- •11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных
- •12. Частные производные ф-ии нескольких переменных
- •13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных
- •14. Дифференциал функции нескольких переменных
- •15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных
- •16. Дифференцирование сложной ф-ии
- •17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях
- •18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
- •19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных
- •20. Производная по направлению
- •22.Частные производные высшего порядка.
- •23.Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка ф-ции двух переменных.
- •24.Производные высших порядков.
- •27. Экстремум функции многих переменных.
- •28.Достаточные услов локальн экстрем ф-ций нескол перемен.
- •28. Критерий Сильвестра
- •29.Определение наибольшего и наименьшего значения
- •30.Не явные ф-ции.
- •31.Вычисление частных производн неявно заданных ф-ций.
- •32.Неявные ф-ции определ систем функцион уравнений.
- •33. Зависимость ф-и нескольких переменных
- •34.Функциональные матрици
- •35. Усл.Экстремум
- •36.Метод неопредёлённых множетелей Логранжа.
- •37.Числовой ряд. Сходимость, расходимость рядов.
- •38.Необход признак сходим ряда.
- •39. Признак сравнения рядов
- •40.Признак Даламбера.
- •41.Признак Коши.
- •42. Интегральный признак Коши
- •43. Признак Лейбница
- •44. Абсолютная сходимость рядов
- •45. Признаки Дирихле и Абеля
- •47.Функциональные последовательности и ряды.
- •48.Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •49.Свойства равном сходящ функции рядов.
- •50.Степенные ряды.
- •55.Ряд Фурье для четн. И нечетн. Ф-ий:
- •56.Ряд Фурье для ф-ций заданных на отрезке .
15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных
Если ф-ия имеет частные производные по всем аргументам в окрестности т. причем все эти частные производные непрерывны в самой т. , то указанная ф-ия дифференцируема в точке .
Ф-ии с непрерывными частными производными наз непрерывно дифференцируемыми.
16. Дифференцирование сложной ф-ии
Пусть дана ф-яи
где (1)
ТЕОРЕМА. Пусть ф-ия (1) дифференцируема в некоторой точке . Пусть ф-ия дифференцируема в соответствующей точке , где . Тогда сложная ф-ия , где определены соотношениями (1), дифференцируема в точке М. При этом частные производные этой сложной ф-ии в точке М определяются формулами:
где все частные производные берутся в точке N, а все частные производные берутся в точке М, зависящей от t.
ЗАМЕЧАНИЕ. В частном случае, когда ф-ии (1) зависят только от одного аргумента t , получим сложную ф-ию одной переменной t,т.е. , где (i=1,2,…,n). В этом случае производная этой сложной ф-ии определяется формулой
17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ф-ия , заданная на множ-ве {M} наз однородной ф-ей степени Р на этом множ-ве, если для каждой т. множ-ва {M} и для каждого числа t, для которого выполняется рав-во:
Пример:
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА(ОБ ОДНОРОДНОЙ Ф-ИИ)
Если явл в некоторой области М дифференцируемой однородной ф-ей степени Р, то в каждой точке области {M} справедливо рав-во:
.
18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
Пусть дана ф-ия . Если ф-ия диф-ема и аргументы явл независимыми переменными, то дифференциал этой ф-ии будет
Предположим, что это соотношение имеет место и в том случае, когда аргументы явл диф-ыми ф-ями переменных ,т.е.
Указанные свойства первого дифференциала обычно наз инвариантностью его первой формы. Пусть ф-ия дифференцируема в точке , а ф-ии (i=1,2,…,n) дифференцируемы в точке А причем . В этом случае ф-ию можно рассматривать как сложную ф-ию независимых переменных , которая в силу теоремы о дифференцируемости сложной ф-ии будет диф-ема в точке А. поэтому дифференциал duэтой сложной ф-ии можно представить в виде
где (i=1,2,…,k) Представляя эти соотношения в выражении для du и собирая коэф-ты при получим
В этом выражении (i=1,2,…,n)
Поэтому получаем
т.е. инвариантность формы первого дифференциала установлена. Свойства инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие правила для дифференциалов. Пусть дифференцируемые ф-ии каких-либо переменных, тогда:
1)
2) )
3)
4)
19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных
В случае двух переменных условие дифференцируемости можно продемонстрировать геометрически.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Плоскость П, проходящая через точку наз касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку и любую точку поверхности стремится к 0, когда точка стремится к . Если в точке сущ касательная плоскость, то касательная в точке к любой кривой, расположенной на поверхности и проходящей через точку лежит в указанной плоскости. Покажем, что из условия диф-сти ф-ии в точке вытекает существование касательной плоскости к графику этой ф-ии в точке . Пусть , , , где . Условие дифференцируемости ф-ии имеет вид , где A и В постоянные равные частным производным и в точке .
, B , - б.м. при , ф-ии . Рассм след ур-е . Из аналитической геометрии известно, что это ур-е определяет в декартовой системе коор-т некоторую плоскость, проходящую через точку и имеющую нормальный вектор . Покажем, что эта плоскость явл касательной плоскостью в точке поверхности . Действительно, эта плоскость проходит через точку поверхности. Угол между нормальным вектором и любой секущей , когда точка поверхности стремиться к точке . Для этого найдем косинус
Найдем коор-ты вектора . Еесли точка , то . Поэтому . Поэтому из условия дифференцируемости ф-ии следует . Поэтому , когда
Т.о. дифференцируемость ф-ии в точке с геометрической точки зрения означает наличие касательной плоскости к графику ф-ии в точке . Т.к. коэф-ты А и В равны соотв-но частным производным ф-ии , вычисляемым в точке , то ур-е касательной плоскости может быть записана в виде +
Нормальный вектор наз нормалью к поверхности в точке . Ур-я нормали имеют вид .