- •1.Пространство rⁿ
- •2.Метрическое пространство, евклидово пространство.
- •3.Основные или важнейшие множества точек пространства
- •3.Функции n-переменных.
- •4.Сходимость в пространтсве Rn.
- •6.Предел функции нескольких переменных.
- •8.Повторные пределы.
- •9.Непрерывность функции нескольких переменных.
- •10.Непрерывность функции нескольких
- •11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных
- •12. Частные производные ф-ии нескольких переменных
- •13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных
- •14. Дифференциал функции нескольких переменных
- •15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных
- •16. Дифференцирование сложной ф-ии
- •17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях
- •18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
- •19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных
- •20. Производная по направлению
- •22.Частные производные высшего порядка.
- •23.Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка ф-ции двух переменных.
- •24.Производные высших порядков.
- •27. Экстремум функции многих переменных.
- •28.Достаточные услов локальн экстрем ф-ций нескол перемен.
- •28. Критерий Сильвестра
- •29.Определение наибольшего и наименьшего значения
- •30.Не явные ф-ции.
- •31.Вычисление частных производн неявно заданных ф-ций.
- •32.Неявные ф-ции определ систем функцион уравнений.
- •33. Зависимость ф-и нескольких переменных
- •34.Функциональные матрици
- •35. Усл.Экстремум
- •36.Метод неопредёлённых множетелей Логранжа.
- •37.Числовой ряд. Сходимость, расходимость рядов.
- •38.Необход признак сходим ряда.
- •39. Признак сравнения рядов
- •40.Признак Даламбера.
- •41.Признак Коши.
- •42. Интегральный признак Коши
- •43. Признак Лейбница
- •44. Абсолютная сходимость рядов
- •45. Признаки Дирихле и Абеля
- •47.Функциональные последовательности и ряды.
- •48.Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •49.Свойства равном сходящ функции рядов.
- •50.Степенные ряды.
- •55.Ряд Фурье для четн. И нечетн. Ф-ий:
- •56.Ряд Фурье для ф-ций заданных на отрезке .
9.Непрерывность функции нескольких переменных.
Рассмотрим функцию U=f(М)= f(х₁х₂..хn) заданной на некотором множ. {М} пространства Rⁿ. Пусть А-некоторая точка пространства Rⁿ принадлеж. множ. {М} и такая, что в любой δ-окрестности точки А содержит точки множ. {М} т.е А-предельная точка множ. {М}ОПР функция U=f(М)наз. непрерывной в точке А, если ОПР по-Гейне: функция U=f(М)наз непрерывной в точке А, если для любой сходящейся к точке А последоват. { }точек множ. {М} соответствует числовая послед {f( )} значения этой функции сходятся к числу ОПР по-Коши: функция U=f(М)наз. непрерывной в точке А, если для любого ε >0 сущ. δ= δ(ε)>0 такое что для любой точки М из множества определений этой функции удовлетвор. условию ρ(М,А)<δ справедливо неравенство / ОПР функция U=f(М) определенная на множ. {М} наз. непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
10.Непрерывность функции нескольких
Функция U=f(х₁х₂..хn)наз. непрерывной в точке М (х₁х₂..хn) по переменной , если частное приращение Δ U этой функции в точке М представляет собой бесконечно малую функцию т.е . При фиксированных значениях всех переменных кроме переменной функции U=f(х₁х₂..хn) представляет собой функцию одной переменной . поэтому непрерывность функции по переменной означает непрерывность указанной функции одной переменной. Из условия непрерывности функции в данной точке М вытекает непрерывность этой функции в точке М по каждой из переменных х₁х₂..хn.
11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных
1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД НЕПРЕРЫВНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Если ф-ии f(x) и g(x) определены на одном и том же множ-ве {M} и непрерывны в каждой точке А этого множ-ва, то ф-ии так же непрерывны в точке А.
2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ СЛОЖНОЙ Ф-ИИ
Введем понятие сложной ф-ии нескольких переменных. Пусть ф-ии , …, заданы на множ-ве {N} евклидово пр-ва . - коор-ты точек в этом пр-ве. Тогда в каждой точке становится в соответствие точка M с коор-ми пр-ва пр-ва . Пусть {М} множ-во всех таких точек. Пусть - ф-ии n-переменных, заданная на множ-ве {М}. Тогда говорят, что на множ-ве {N} евклидово пр-ва определена сложная ф-ия , где явл ф-ями переменных .
ТЕОРЕМА
Пусть ф-ии (1)
Непрерывны в точке , а ф-ия непрерывна в точке , где , i=1,2, …, n.
3.ТЕОРЕМА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЗНАКА НЕПРЕРЫВНОЙ Ф-ИИ
Если ф-ия непрерывна в точке А пр-ва и , то сущ такая -окрестность точки А, в пределах которой ф-ия не обращается в 0 и имеет знак совпадающий со знаком .
4.ТЕОРЕМА О ПРОИСХОЖДЕНИИ НЕПРЕРЫВНОЙ Ф-ИИ ЧЕРЕЗ ЛЮБОЕ ПРОМЕЖУТОЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ
Пусть ф-ии непрерывна во всех точках связного множ-ва {М} евклидово пр-ва , причем, значение этой ф-ии в точках А и В этого множ-ва. Пусть любое число, заключенное между , тогда на любой непрерывной кривойб соединяющей точки А и В, и целиком расположенной во множ-ве {М} найдется N, что .
5.ОГРАНИЧЕННОСТЬ Ф-ИИ НЕПРЕРЫВНОЙ НА ЗАМКНУТОМ ОГРАНИЧЕННОМ МНОЖ-ВЕ
ТЕОРЕМА(первая теорема Вейерштрасса)
Если ф-ия непрерывна на замкнутом ограниченном множ-ве М, то она ограничена на этом множ-ве.
6.ДОСТИЖЕНИЕ Ф-ИЕЙ НЕПРЕРЫВНОЙ НА ЗАМКНУТОМ ОГРАНИЧЕННОМ МНОЖ-ВЕ СВОИХ ТОЧНЫХ ГРАНЕЙ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Точной верхней гранью ф-ии на множ-ве {М} наз такое число , которое удовлетворяет условиям:
для все точек множ-ва {М}.
найдется хотя бы одна точка М множ-ва {М}, для которой и обозначается
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Точной нижней гранью ф-ии на множ-ве {М} наз такое число , которое удовлетворяет условиям:
для все точек множ-ва {М}.
найдется хотя бы одна точка М множ-ва {М}, для которой и обозначается
ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА
Если ф-ия непрерывна на замкнутом ограниченном множ-ве {М}, то она достигает на этом множ-ве своих верхней и нижней граней.
7.РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ Ф-ИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Ф-ия наз равномерно-непрерывной на множ-ве {М} евклидово пр-ва , если для можно указать такое , что для любых двух точек M’, M’’ из множ-ва {М}, удовлетворяющих условию выполняется нер-во .
ТЕОРЕМА КАНТОРА
Непрерывная на замкнутом ограниченном множ-ве ф-ия равномерно-непрерывна на этом множ-ве.