65. Задача о распаде произвольного разрыва.

Задача о распаде разрыва и ее решение. В классической постановке задачи о распадe произвольного разрыва (РПР) в точке х = 0 в момент времени ( t= 0 терпят разрыв параметры газа, распределенные однородно в каждом из полупространств. В иностранных источниках задача о распаде разрыва именуется задачей Римана (англ. Riemann problem).

В общем случае, в силу произвольности значений p₄ T₄ u₄ и p₄ T₁ u₁ (см. рис. 24), началь­ный разрыв не удовлетворяет соотношениям для двух устойчивых видов разрыва — контактной поверхности и прямого скачка уплотнения. Поэтому начальный разрыв, заданный в х = 0 при ( t= 0 распадается с образованием некоторой структуры нестационарного течения (t > 0).

Точное решение задачи о РПР для газовой динамики, изложенное впервые в 1924-25 гг. в работах русского советского математика и механика Н. Е. Кочина |9|, реализуется в одном из пяти возможных вариантов течения (см. рис. 24), возникающего в месте соприкосновения двух масс газа.

Показано (напр. |9|), что если при РПР не образуется зона вакуума (случай «разлета» газов), то в картине течения присутствует КП (по обе стороны от которой давления и скорости потоков одинаковы) и две простые волиьт, отделяющие зоны 2 и 3 от зон невозмущенного газа 1 и 4 (рис. 24, а - г).

Задача о РПР имеет решение, если заданы уравнения состояния обычного вида для сжи­маемой среды. Если простая волна — волна разрежения, то это ЦБР, описываемая точно ха­рактеристическими соотношениями. Фронт же волны сжатия, строго говоря, является скачком уплотнения и описывается соотношениями (98)—(100) на стр. 70.

Задача о РПР играет заметную роль в ГД. Различные варианты процедур ее точного и при­ближенного решения находят применение в методах численного расчета одно- и многомерных течений сжимаемых жидкостей. Так, на использовании точного решения задачи о РПР постро­ен классический метод С. К. Годунова (стр. 92) для численного решения уравнений газовой динамики (метод распада разрыва³³). В книге |5| изложены два варианта метода итерацион­ного поиска точного решения задачи о РПР (для совершенного газа) и решение этой задачи в акустическом приближении.

66. Распад разрыва на скачке сечения.

Расчет взаимодействия одномерного нестационар­ного потока с местом сопряжения каналов неодинакового сечения («скачком сечения») основан на обобщений задачи о РПР. Обобщение состоит в привлечения модой течения с гидравличе­скими потерями на стыке каналов. Описанная виже методика расчета РПР на скачке сечения применена в программном модуле МО ДИАФРАГМА.

Пусть имеются два канала в общем случае с различной площадью поперечного сечений, п месте стыка которых имеется МС (см. рис.). Течение через МС принимается квазистационарным: G₄ = G3 (сохранение массы), Т₃* =Т₄* (сохранение энергии), р*₃= р*₄ ( (потери

полного давления).

Направление течения при РПР дает оттесанный пыгпе прием торможепия потока «фиктивной перегородкой». Если > 1, то течение в зонах 4, 3 и 2 ооотвествует направлениию, показанному на рис. с ИБС между зонами 2 й 1' и ИБР между зонами 5" и 4.

Моделью «канонического» вида для таким образом обобщенной задачи о РПР является система из трех уравнений, связывающая три неизвестные — М₄, М₃ и М₂. Система получается с применением всех необходимых соотношений на простых изоэнтропаых волнах сжатия и разрежения, КП и МС и имеет вид: = * * .

Система переходит в систему,для РПР в гладком канале в том частном случае, когда скачок сечения и потери на МС отсутствуют.

Точно так же, как в случае РПР на гладком канале, удобно находить решение, исполь­зуя цепочку соотношений, а отнюдь не отыскивая одновременно три корня системы уравнений, имеющей вид F(M4,M3,M2)=0.

Полученное решение не будет удовлетворять одновременно характеристическим соотношениям па фронтах простых волн и соотношениям на КП. а также стационарной характеристике МС, в предположении об энергоизолированном течении через него. Потоки массы G и энергии Gh* через сечения примыкающих к МС каналов («трубок») будут одинаковы, потоки импульса в сечениях каналов, примыкающих к МС, следует вычислять по выражению Gu+pF.