37. Признак Лейбница

Если для знакочередующегося числового ряда

(19)

Выполняются два условия:

1. Члены ряда убывают по модулю u₁>u₂>…>u_n>…,

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Следствие. Остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т.е.

Если в знакочередующемся ряде члены ряда монотонно убывают по абсолютным значениям и imU_n=0 (n∞), то ряд сходится.

Дано: U₁>U₂>U₃>... ; imU_n=0 (n∞); U₁-U₂+U₃-U₄+... , U_i>0

Доказательство: S_2n  чётная частичная сумма:

S_2n=+U₁-U₂+U₃-U₄+...-U_2n ;

S_2n=(U₁-U₂)+(U₃-U₄)+...+(U_2n-1-U_2n);

S_2n>0  возрастает.

S_2n=U₁-(U₂-U₃)-(U₄-U₅)-...-U_2n; S_2n<U₁, U₁>0; imS_2n=S {n∞}

imS_2n+1 {n∞} = im(S_2n+U_2n+1)=S;

Чётные и нечётные суммы с одним пределом => ряд сходится.

1. Заметим, что S>0, т.е. знак суммы совпадает со знаком первого члена.

2. S<U₁

38. Абсол и условная сходимость.

О. Ряд вида (1)

наз знакочеред-ся.

Признак Лейбница (сх-ть знакочер ряда).

Для того, чтобы ряд (1) сх-ся достаточно, чтобы абсол значения убывали и →0 при возрастании n, т.е.

О. Если ряд, сост из абсол значений величин сх-ся, то ряд наз абсолютно сходящимся.

Теорема: Если ряд явл абсол сх-ся, то исх ряд сх-ся.

Док-во:восп-ся 1 признаком сравнения

Рассм-м ряд - ряд из абсол значений величин

Доказана сх-ть по 2-му признаку сравнения, след-но исх ряд сх-ся абсолютно.

О. Если ряд, образ из абсол значений его величин расх-ся, а исх ряд сх-ся, то он наз условно сх-ся.

39. Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

Ряд вида , где - числа, называемые коэффициентами ряда, x – переменная, наз-ся степенным рядом. Интервал (-R;R) наз интервалом сх-ти степ ряда. Заметим, что для x €(-R;R) ряд сходится абсолютно, а в точках x= ± R степенной ряд может сходиться или расходиться. Для нахождения радиуса сходимости можно воспольз-ся, признаками Даламбера или Коши. Теорема. Если существует | a_n+1/ a_n|=L, то R=1/L= | a_n/ a_n+1|. (Док-во. Рассмотрим ряд a_nxⁿ . Применим к нему признак Даламбера. | a_n+1xⁿ⁺¹/ a_nxⁿ|= | a_n+1/ a_n|∙| x | =L∙| x |. Отсюда следует, что если L∙| x |<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, то ряд расходится. Теорема доказана.) Заметим, что если L=0, для любого | x | то R=∞ . Если L=∞, для любого x≠0 , то R=0 . Если R=0 , то ряд сходится в единственной точке x₀=0; если R=∞, то ряд сходится на всей числовой прямой. Итак, интервал сходимости ряда a_nxⁿ есть (-R;R) . Для нахождения области сходимости ряда надо отдельно исследовать сходимость в точках x=R и x=-R; в зав-ти от рез-тов этого исслед-я обл-ю сх-ти ряда м. б. один из промежутков: [-R;R],(-R;R),[-R;R),(-R;R]. Теорема Абеля: 1) Если степенной ряд   a_nxⁿ сходится при x=x₀, то он сходится причем абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству |x|<|x₀|. 2) Если же ряд a_nxⁿ расходится при x=x_{1 ,} то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x₁|. (Док-во 1)Так как числовой ряд a_nx₀ⁿ сходится, то a_nx₀ⁿ=0. Это означает, что числовая последовательность {a_nx₀ⁿ} ограничена.Тогда перепишем степенной ряд в виде a₀ + a₁x₀ (x/x₀) + a₂x₀²(x²/x₀²) +…+…= a_nx₀ⁿ (x/x₀)². Рассмотрим ряд из абсолютных величин. |a₀| + |a₁x₀ (x/x₀) | + |a₂x₀²(x²/x₀²) | +…+…<= M + M| x/x₀| + M| x/x₀|² +…= M(1+q+ q²+…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x₀)<1—сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x^*, | x^*|> x_1. Но тогда согласно 1-ой части теоремы, степенной ряд сходится для всех | x |< x^* . В том числе должен сходится и при x= x₀, так как | x |< | x^*| . Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.)

40. Радиус сходимости и область сходимости степенных рядов. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Свойства степенных рядов

1. Сумма степенного ряда f(x) непрерывна внутри его интервала сходимости

2. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз. Ряды полученные почленным интегрированием и почленным дифференцированием степенного ряда имеют тот же радиус сходимости что и исходный ряд.

3. Пусть задан СР с областью сходимости (-R;R). Тогда сумма S(x) явл дифференцируемой функцией в инт (-R;R). Ее произв S'(x)=

4. Для любого интеграла (α,β) (-R;R).