4. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точка перегиба

Определение. График функции у=f(x),дифференцируемой на интервале (а;b), имеет на этом интервале выпуклость, направленную вверх (вниз), если график этой функции в пределах интервала (а;b) лежит не выше (не ниже) любой своей касательной. Теорема (об условиях выпуклости вверх или вниз). Пусть функция y = f (x) определена на интервале (a;b) и имеет непрерывную, не равную нулю в точке x₀ ∈(a;b) 0 вторую производную. Тогда, если f ''(x) > 0 всюду на интервале (a;b) , то функция имеет выпуклость вниз на этом интервале, если f ‘’(x) < 0, то функция выпукла вверх.

Определение. Точкой перегиба графика функции y=f(x) называется точка M(x₁ ,f(x₁ )) , разделяющая промежутки выпуклости вверх и вниз. Иными словами, точка M(x₁ ,f(x₁ )) -

точка перегиба кривой, если в этой точке кривая переходит с одной стороныкасательной на другую, меняя направление выпуклости. Теорема (о необходимом условии точки перегиба).

Если M(x ₁,f(x₁ )) есть точка перегиба дважды дифференцируемой функции y = f (x), то f ‘’(x₁ ) =0 или f ''(x₁ ) = ∞ .

теорема (о достаточном условии точки перегиба).

Если вторая производная f ‘’(x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку x₁ меняет знак, причем f ‘’(x₁ ) =0 , то точка M(x₁ ,f(x₁ )) есть точка перегиба кривой y = f (x).

Схема исследования функции на выпуклость

1) Найти вторую производную функции;

2) найти точки, в которых вторая производная равна нулю

или обращается в бесконечность;

3) исследовать знак производной слева и справа от каждой

найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и

точках перегиба;

4) найти значения функции в точках перегиба.

5. Асимптоты графика функции

Прямая x = x₀ называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений lim_{x→x −0} f(x ) или lim_x→x+0 f(x ) равно + ∞ или − ∞.

Прямая y = y₀ называется горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений lim _x→+∞f (x)или lim _x→-∞f (x)равно b. График функции может иметь

только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x), если lim _x→+∞(f(x)-kx-b)= 0, т.е. когда функция при x →∞ представима в виде f (x) = kx + b +α(x) , где lim _x→+∞α(x) = 0.

Существование асимптоты y = kx + b у кривой y=f(x) при x →∞ означает, что при x →∞ функция ведет себя «почти как линейная», т. е. отличается от линейной функции y = kx + b бесконечно мало . Наклонная асимптота может быть как правой так и левой.

Теорема (об условиях существования наклонной асимптоты)

Если для функции y = f (x) существуют пределы lim _x→∞ и lim _{x→∞ ,} то функция имеет наклонную асимптоту y = kx + b при x →∞.

6. Касательная и нормаль к плоской кривой

Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).

Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в точке M (x1 ; y1) равен значению f '(x1) производной y' = f '(x) при x = x1/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде y - y1 = f '(x1)(x - x1)

Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен , а уравнение записывается в виде

7. Ф-ии нескольких переменных. Основные понятия (область определения, предел,, непрерывность)

Определение 4.1. Если каждой точке M(x1 ,x2 ,...,xn ) некоторой области D из пространства Rⁿ соответствует вполне определенное число z ∈ R, то говорят, что задана функция n переменных z=f(x1,x2 ... xn) (z=f (M )). обозначается D( f ) .

Множество D называется областью определения функции и обозначается D( f ) .Обычно под областью определения аналитически заданной функции подразумевается ее естественная область определения.

Множество E( f ) = {z∈R z = f (M), M ∈D( f )} называется областью значений функции f . Если n = 2, то функция z = f (M) переходит в функцию двух независимых переменных z = f (x, y) , где (x, y)∈D ⊂ R² .

Определение 4.4. Говорят, что последовательность точек M1(x1,y1), M2 (x2,y2)…Mn (xn, yn) плоскости x0y сходится к точкеM0(x0,y0), если расстояние dn= = стремится к нулю когда n→∞.

Определение 4.5. Число A называется пределом функции f (x, y) в точке M0 , если для любой последовательности точек M1 ,M2 ,Mn…. сходящейся к точке M0 , соответствующая последовательность значений функции f(M1), f(M2)….f(Mn) сходится к числу А : lim_M→M0 f(M)

Определение 4.7. Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке M0(x0,y0) , если она определена в самой точке M0 и некоторой ее окрестности и выполняется равенство lim_M→M0 f(M)=f(M0) т.е. предел функции в точке равен значению функции в этой точке.

Определение 4.8. Функция z = f (x, y) называется непрерывной в области R, если она непрерывна в каждой точке этой области.