10. Первообразная. Неопределенный интеграл
Пусть задана y=f(x)
на некотором множестве Х. Тогда F(x),
определенная на этом множестве, называется
первообразной для данной функции, если
она дифференцируема для любых х
и
F’(x)=f(x)
Если F(x)
– первообр-я, то любая ф-ия F(x)+c
, где с-const,
также является первообразной данной
функции: (F(x)+c)’=
=F’(x)+c’=F’(x).
Вся совокупность первообр-х {F(x)+c
| c
} наз-ся НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ ф-ии
y=f(x).
В записи
: f(x)
– подынтегр.функция, f(x)dx
– подынтегр.выражение, x
– переменная интегрирования.
Основные свойства неопред.интеграла (правила интегрирования):
1) ( )’=f(x)
2)
3)
4)
(a=const, a
)
5)
11. Таблица интегралов
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
|x|<1
13)
|x|<|a|, a
14)
= -arcctgx+c
15)
=
16)
17)
12. Общие методы интегрирования
Наиболее важными методами интегрирования являются:
1) метод непосредственного интегрирования (метод разложения),
2) метод подстановки (метод введения новой переменной),
3) метод интегрирования по частям.
I. Метод непосредственного интегрирования
Задача нахождения неопределенных интегралов от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов.
II. Метод подстановки (интегрирование заменой переменной)
Если функция x=φ(t) имеет непрерывную производную, то в данном неопределенном интеграле ∫f(x)dx всегда можно перейти к новой переменной t по формуле: ∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ'(t)dt.
Затем найти интеграл из правой части и вернуться к исходной переменной. При этом, интеграл стоящий в правой части данного равенства может оказаться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже табличным. Такой способ нахождения интеграла называется методом замены переменной.
III. Метод интегрирования по частям
Метод интегрирование по частям основан на следующей формуле: ∫udv=uv-∫vdu, где u(x),v(x) –непрерывно дифференцируемые функции. Формула называется формулой интегрирования по частям. Данная формула показывает, что интеграл ∫udv приводит к интегралу ∫vdu, который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным.
13.Интегрирование простейших рациональных дробей
Дробной рациональной функцией аргумента х называется отношение целых рациональных функций. Причем если степень числителя меньше степени знаменателя, дробь называется правильной. В противном случае - неправильной.
Алгоритм:
Если дробь неправильная - выделить целую часть. Получим интеграл от целой части (интегрируется непосредственно) и интеграл от правильной дроби;
Если числитель равен дифференциалу знаменателя (или отличается от него постоянным множителем), то использовать замену переменной z=знаменатель;
Если числитель равен дифференциалу некого многочлена (или отличается от него постоянным множителем), а знаменатель равен степени того же многочлена, то использовать замену переменной z=знаменатель;
В остальных случаях нужно разложить дробь на сумму простейших
Простейшие дроби интегрируются в зависимости от их вида следующими способами:
,
при n>1
,
при n=1
(только
при 4q > p2, иначе она разлагается на
простейшие первого вида) при n=1 подстановка
x + 0,5p = z , при n>1 сначала подстановка
x + 0,5 p = z, потом тригонометрическая
подстановка z = a tgt