41. Разложение элементарных функций в степенной ряд Тейлора и Маклорена

– ряд Маклорена

– ряд Тейлора

Ряд М и Т явл степенными рядами спец вида

e^x=1+x/1!+x²/2!+…+xⁿ/n!+… (-∞<x<∞),

sinx=x/1!-x³/3!+x⁵/5! –x⁷7! +...+(-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+...

(-∞<x<+∞),

cosx=1 - x²/2!+x⁴/4! – x⁶/6!+...+(-1)ⁿ x²ⁿ/(2n)!+…

(-∞<x<+∞),

ln(1+x)=x – x²/2+x³/3 – x⁴/4+...+(- 1)^n-1 xⁿ/n+...

(-1<x≤1),

(1+x)^m=1+mx/1!+m(m-1)x²/2!+m(m-1)(m-2)x³/3!+...+m(m-1)...(m-n+1)xⁿ/n!

Последнее разложение имеет место при любом действительном числе m,если -1<x<1

42. Применение рядов в приближенных вычислениях

Пусть дан степенной ряд область сходимости D:

Числ ряд сходится и его сумма равна

Для того, чтобы вычислить значение степенного ряда в точке

, где

При этом возникает погрешность равная остатку , т.к. S(x)=S_n(x)=r_n(x)

Для приближ вычисления знач-я суммы степ ряда при , заданной погрешностью

,число слагаемых n выбирают таким образом, чтобы (1)

Осн задача при приближ вычисл суммы степ ряда сост в мах n(числа слагаемых частичной суммы), при к-х выполняется нерав-во(1)

Приближ вычисления для знакочеред рядов

Т1. Для зад знакочеред числ ряда ;( ) справедливо утверждение:

Сумма числ ряда

Для зн/черед ряда справедливо утверждение

Таким обр для суммы зн/черед степ ряда справедливо нерав-во

Следствие1. Для остатка зн/черед ряда

справедливо утверждение (2)

из следствия1 вытекает, что для вычисл зн/черед ряда с точностью достаточно выбрать число n(число слагаемых частичной суммы), таковым что

(3)