- •Нод и нок нескольких целых чисел.
- •Конечные цепные дроби. Представление числа в виде конечной цепной дроби.
- •Подходящие дроби. Свойства подходящих дробей.
- •Систематические числа.
- •Простые числа. Свойства простых чисел.
- •Простые числа. Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел.
- •Простые числа. Решето Эратосфена.
- •Основная теорема арифметики.
- •Теорема о делимости натуральных чисел, разложенных на простые множители.
- •Кольцо целых гауссовых чисел . Норма целого гауссового числа и ее свойства. Пифагоровы числа.
- •Теорема о делении с остатком в кольце целых гауссовых чисел. Делители единицы (единицы) в кольце .
- •Делимость целых гауссовых чисел.
- •Линейные диофантовы уравнения. Представление всех решений линейного диофантова уравнения.
- •Количество и сумма натуральных делителей. Мультипликативные числовые функции.
- •Целая часть числа и ее свойства.
- •Сравнения и их свойства.
- •Полная система вычетов. Признак полной системы вычетов.
- •Приведенная система вычетов. Функция Эйлера. Признак приведенной системы вычетов.
- •Основная лемма о приведенных системах вычетов по двум взаимно простым модулям. Мультипликативность функции Эйлера.
- •Формула для вычисления функции Эйлера. Лемма Гаусса о сумме значений функции Эйлера по всем делителям данного числа.
- •Признак делимости Паскаля. Признак делимости на 2, 3, 4 и 5.
- •Признак делимости Паскаля. Признак делимости на 6, 7 и 8.
- •Признак делимости Паскаля. Признак делимости на 9 и 11.
- •Группа классов вычетов взаимно простых с модулем.
- •Теоремы Эйлера и Ферма.
- •Сравнения с одной неизвестной.
- •Линейные сравнения: критерий разрешимости и количество решений.
- •Периодические дроби. Теоремы о преобразовании несократимой дроби в периодическую дробь.
- •Правила преобразования периодической дроби в обыкновенную дробь.
- •Системы линейных сравнений. Система двух линейных сравнений и теорема о ее разрешимости. Китайская теорема об остатках.
- •Первообразные корни. Существование первообразных корней по простому модулю.
- •Индексы по простому модулю.
- •Теорема о свойствах индексов и следствие из нее.
- •Формула перехода от системы индексов с основанием к системе индексов с основанием (пример 1).
- •Двучленные сравнения. Решение двучленных сравнений. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера.
- •Теорема
- •Теорема
- •Критерий Эйлера
Формула для вычисления функции Эйлера. Лемма Гаусса о сумме значений функции Эйлера по всем делителям данного числа.
Эйлера по все м делителям данного числа.
Теорема.(Формула для вычисления функции Эйлера): Пусть – каноническое разложение, тогда . Док-во: Пусть p – простое число и нужно вычислить , для этого выпишем полну. Систему вычетов по
1, |
2, |
… |
p, |
p+1, |
p+2, |
… |
2p, |
2p+1, |
2p+2 |
… |
3p, |
… |
… |
… |
… |
|
|
… |
|
В каждом столбце, кроме последнего стоят числа, взаимно простые с p, а в последнем столбце стоят числа которые делятся на p. Всего чисел в системе , а в последнем столбце
Вывод: чисел, взаимно простых с , будет это значит
Поскольку функция Эйлера мультипликативна, то
Лемма ГАУССА: Сумма значений функции Эйлера по всем делителям числа m равна m: – сумма по всем x, которые являются делителями m. Доказательство: Пусть p – простое число, рассмотрим сумму:
. Пусть – каноническое разложение. Рассмотрим выражение
Признак делимости Паскаля. Признак делимости на 2, 3, 4 и 5.
Общий вид. Пусть натуральное число А записываемое в десятичной системе счисления как , где - единицы, - десятки и т.д.
Пусть m – произвольное натуральное число, на которое мы хотим делить и выводить признак делимости на него. Находим ряд остатков по следующей схеме:
- остаток от деления 10 на m, - остаток от деления на m,
- остаток от деления на m, …, - остаток от деления на m
Формально
Так как остатков конечное число (а именно m), то этот процесс зациклится (не позже, чем через m шагов) и дальше можно его не продолжать. Начиная с некоторого , где р – получившийся период последовательности . Для единообразия можно принять, что . Тогда А имеет тот же остаток от деления на m, что и число
Док-во. Пользуясь тем, что в алгебраическом выражении по модулю m можно заменять числа их остатками от деления на m, получаем
Признак делимости на 2
Здесь m=2. Так как , то , . Отсюда получаем известный признак: остаток от деления числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2, или обычно: число делится на 2, если его последняя цифра четна.
Признак делимости на 3
Здесь m=3. Так как (остаток от деления 10 на 3 равен 1), то все . Значит, остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы его цифр на 3, или иначе: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Признак делимости на 4
Здесь m=4. Находим последовательность остатков: . Отсюда получаем признак: остаток от деления числа на 4 равен остатку от деления на 4, или, заметив, что остаток зависит только от 2 последних цифр: число делится на 4, если число, состоящее из 2 его последних цифр, делится на 4.
Признак делимости на 5
Здесь m=5. Так как , то . Отсюда получаем известный признак: остаток от деления числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5, или обычно: число делится на 5, если его последняя цифра – 0 или 5.