16. Сравнения и их свойства.

Опр: Целые числа a и b наз. сравнимыми по модулю m, если их остатки при делении на m одинаковые(m ). Критерий сравнимости: найдется Док-во: Необходимость: Достаточность: Пусть нашлось такое целое t, что Свойства.1*Сравнения можно почленно складывать, т.е. если , то .Док-во(по опр. и критерию): След.1. Числа из одной стороны сравнения можно перенести в другую сторону сравнения с противоположным знаком. Док-во:

След.2. К любой части сравнения можно прибавить число, кратное модулю. Док-во:

Пример: 2* Сравнения можно почленно перемножить Док-во: =>

След.1. Обе части сравнения можно возводить в одну и ту же степень:

След.2. Обе части сравнения можно умножать на одно и то же целое число: .

3* Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если он взаимопрост с модулем. . Док-во: .

Теорема: Если и -некоторый многочлен с цел. Коэф.

Свойства:1* Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же число. Док-во:

2* Обе части сравнения и модуль можно разделить на одно и то же целое число. / Док-во: подставим

3*Если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет место по любому делителю m.

4*Если одна часть сравнения и модуль делятся на некоторое целое число, то и вторая часть сравнения делится на это число.

5* Если сравнение имеет место по нескольким модулям, тогда сравнение имеет место по модулю . Док-во: (a-b) (a-b)

17. Полная система вычетов. Признак полной системы вычетов.

Опр. Бинарное отношение наз. отношением эквивалентности, если:1) . 1) Значит, задано отношение эквивалентности.

Опр. Вычетом наз. любой элемент класса 0,1,2,…,m-1.

Опр.Полной системой вычета по mod m наз. произвольный набор из m чисел взятых по одному из каждого класса вычетов по mod m.

Пример:0,1,…,m-1 – полная система наим.неотр.вычетов, 1,…,m-1,m – полная система положит.вычетов.если m=2k+1, То –k,…,-1,0,1,…k-полная система наим.по абсол.величине вычетов.

Теор1.(Признак полной сис.выч). Произвольная система m- ных чисел попарно не сравнимых по mod m образуют конечную систему вычетов по mod m. Док-во: числа попарно не сравнимы по mod m, следовательно они принадлежат разным класса. Чисел ровно m столько же сколько классов, потому в каждый класс попадает по 1 числу, с каждого класса по одному представителю.

Следствие: Если НОД(a,m)=1 и x₁,x₂,…,x_m-полная сис.выч. по mod m, то для любого b из z: ax₁+b, ax₂+b,…, ax_m+b- так же полн.сис.выч. по mod m. Док-во: ax₁+b, ax₂+b,…, ax_m+b(*) содержит m чисел, значит остается доказать, что числа в * попарно не сравнимы. Правило: чтобы выяснить является ли система чисел {x_i } полной сис.выч. по mod m,нужно взять остатки от деления x_i на m. если это будут числа 0,1,2,…, m-1 без повторов, то система вычетов полная.

Пример: явл.ли система 9,2,16,20,27,39,46,85 полн.сис.выч по mod 8. Решение: делим последовательно числа с остатком на 8. 9:1,2:2,16:0,20:4,27:3,39:7,46:6,85:5. Система полная