- •Нод и нок нескольких целых чисел.
- •Конечные цепные дроби. Представление числа в виде конечной цепной дроби.
- •Подходящие дроби. Свойства подходящих дробей.
- •Систематические числа.
- •Простые числа. Свойства простых чисел.
- •Простые числа. Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел.
- •Простые числа. Решето Эратосфена.
- •Основная теорема арифметики.
- •Теорема о делимости натуральных чисел, разложенных на простые множители.
- •Кольцо целых гауссовых чисел . Норма целого гауссового числа и ее свойства. Пифагоровы числа.
- •Теорема о делении с остатком в кольце целых гауссовых чисел. Делители единицы (единицы) в кольце .
- •Делимость целых гауссовых чисел.
- •Линейные диофантовы уравнения. Представление всех решений линейного диофантова уравнения.
- •Количество и сумма натуральных делителей. Мультипликативные числовые функции.
- •Целая часть числа и ее свойства.
- •Сравнения и их свойства.
- •Полная система вычетов. Признак полной системы вычетов.
- •Приведенная система вычетов. Функция Эйлера. Признак приведенной системы вычетов.
- •Основная лемма о приведенных системах вычетов по двум взаимно простым модулям. Мультипликативность функции Эйлера.
- •Формула для вычисления функции Эйлера. Лемма Гаусса о сумме значений функции Эйлера по всем делителям данного числа.
- •Признак делимости Паскаля. Признак делимости на 2, 3, 4 и 5.
- •Признак делимости Паскаля. Признак делимости на 6, 7 и 8.
- •Признак делимости Паскаля. Признак делимости на 9 и 11.
- •Группа классов вычетов взаимно простых с модулем.
- •Теоремы Эйлера и Ферма.
- •Сравнения с одной неизвестной.
- •Линейные сравнения: критерий разрешимости и количество решений.
- •Периодические дроби. Теоремы о преобразовании несократимой дроби в периодическую дробь.
- •Правила преобразования периодической дроби в обыкновенную дробь.
- •Системы линейных сравнений. Система двух линейных сравнений и теорема о ее разрешимости. Китайская теорема об остатках.
- •Первообразные корни. Существование первообразных корней по простому модулю.
- •Индексы по простому модулю.
- •Теорема о свойствах индексов и следствие из нее.
- •Формула перехода от системы индексов с основанием к системе индексов с основанием (пример 1).
- •Двучленные сравнения. Решение двучленных сравнений. Квадратичные вычеты. Критерий Эйлера.
- •Теорема
- •Теорема
- •Критерий Эйлера
Конечные цепные дроби. Представление числа в виде конечной цепной дроби.
Опр.: Конечной цепной дробью наз. число, записанное в виде , где – целое число, . Элементы наз. элементами цепной дроби.
Примеры: Можем ли мы целое число представить в виде конечной цепной дроби? Ответ: Да 3=(3).
Если не поставить условие , то одно и то же рациональное число можно представить двумя способами в виде цепной дроби.
ВЫДЕЛЕНИЕ ЦЕЛОЙ ЧАСТИ:
Пусть , тогда существует единственное представление .
Примеры: .
Опр.: Целой частью рационального числа наз. наибольшее целое число, не превосходящее рациональное число . Обозначение: .
Опр.: Дробной частью числа наз. разность . Обозначение: .
Примеры:
Опр.: Определение целой части согласно формулам (1), наз. выделением целой части. .
РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОГО ЧИСЛА В ВИДЕ КОНЕЧНОЙ ЦЕПНО ДРОБИ:
Пусть . Применим к алгоритм Евклида для нахождения НОД. .
Т.: Любое рациональное число можно представить в виде конечной цепной дроби.
Пример: Разложить рациональное число в конечную цепную дробь. Запишем теперь цепную дробь: .
Т.: Представление рационального числа в виде конечной цепной дроби однозначно (конечно). Целая часть цепной дроби равна ее первому элементу . Число элементов дроби >2 – аналогично.
Предположим Повторным сравнением целых частей получаем . Если . Если - противоречие.
Подходящие дроби. Свойства подходящих дробей.
Опр.: Дроби вида называют подходящими дробями. - подходящая дробь порядка
переходит в , если в заменить выражением :
На основании ММИ получаем: - рекуррентные формулы для вычислений подходящих дробей, а также их числителей и знаменателей.
Схема для вычисления подходящих дробей:
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
… |
|
|
1 |
|
|
|
… |
|
|
|
… |
|
|
0 |
|
|
|
… |
|
|
|
… |
|
Свойства подходящих дробей: . По формуле (*) т.е. все по абсолютной величине все равны. .
Следствие: .
Следствие: Все подходящие дроби являются несократимыми. Если - несократимая дробь, а - ее последняя походящая дробь, то
Следствие: .
Следствие: Пусть предпоследняя подходящая дробь для данного разложения в циклическую дробь. Тогда .
Систематические числа.
Определения:
основанием позиционной системы счисления называется некоторое определенное натуральное число ;
число 0, 1, 2, …, называются цифрами;
натуральное число представленное в виде: , где - цифры и называется -значным систематическим числом с основанием ;
место занимаемое цифрой при написании числа позиционной системе называется разрядом;
в зависимости от выбора основания систематическое число называется двоичным при , троичным при , десятичным при и т.д.;
обозначение .
Теорема: каждое натуральное число можно однозначно записать в виде систематического числа системы счисления с основанием .
Операции над систематическими числами проводятся по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Каждый раз когда получается число основанию системы счисления нужно сделать перенос в следующий разряд.