36. Индексы по простому модулю.

Опр. Пусть m – модуль, а, в – взаимно простые с модулем числа. Число S принадлежащее a, такое что a^s≡b(mod m) называется индексом по основанию а. ind _ab.

Пр. Пусть m=13, a = 2.

2³≡8(mod 13) 2⁴≡16(mod 13), 2⁴≡3(mod 13) ind₂3=4

2⁶≡12(mod 6), ind12=6.

Теорема: Пусть m - модуль, g – первообразный корень по модулю m, тогда для любого b, такого что НОД(b,m)=1, существует такое S, что g^s ≡b(mod m) и все такие индексы S явл. Неотрицательными числами некоторого класса по модулю m.

Д-во: пользуясь теоремой, что g – первообразный корень g, g²,…,g^r(m)… все степени различные и образуют приведенную систему вычетов по модулю m.

Т.к. НОД(b,m)=1, то b попадет в какой-то класс, значит существует S принадлежащий N, такой что g^s≡b(mod m). Возьмем какой-нибудь S₁, такой что g^S1 ≡ b(mod m), g^S ≡ b(mod m),

Тогда эти модули сравнимы по модулю порядка P(g)= (m).

S ≡ S₁(mod (m)).

Докажем, что если взять два вычета из одного класса они являются индексами

S ≡ k(mod (m)), g^S ≡ g^k (mod m), но g≡b(mod m), тогда и g^k≡b(mod m), значит k – тоже индекс. k=ind_gb. Доказанно.

Теорема: Пусть НОД(b,m)=1 и НОД(с,m)=1 g первообразный корень по модулю m, b≡c(mod m) <=> ind_gb≡ind_gс(mod (m)).

Д-во: необходимость. Пусть b≡c(mod m). Теперь значит ind _g b ≡ ind _g b(mod (m)).

Т.к. степень сравнения по модулю m, то показатель сравнения по модулю (m).

Достаточность: Пусть ind_gb≡ind_gс(mod (m)), тогда имеем

, т.е. b≡c(mod m).

37. Теорема о свойствах индексов и следствие из нее.

Опр. Пусть m – модуль, а, в – взаимно простые с модулем числа. Число S принадлежащее a, такое что a^s≡b(mod m) называется индексом по основанию а. ind _ab.

Свойства индексирования: 1) Пусть НОД(b,m)=1 и НОД(a,m)=1, g - первообразный корень по модулю m, тогда ind_g ab ≡ ind_g a +

+ ind_g b (mod (m)). Д-во: g^{ind g ab} ≡ ab(mod m), в то же время

ab≡g^{ind g a} * g^{ind g b} = g^{ind g a+ ind g b}(mod m). теперь

ind_g ab ≡ ind_g a + ind_g b (mod (m)). Д-но.

2. Пусть НОД(a,m)=1, g - первообразный корень по модулю m, тогда

Ind_sa^k=k ind_ga(mod m). Д-во: K=0, ind_g a⁰ ≡ 0 ind_g a(mod m)

Ind_ga⁰ = Ind_g1=0 левая часть верно. k=1, ind_g a¹ ≡1 ind_g a(mod m) - верно. k>1, ind_g a^k ≡ ind_g a тогда по замечанию

ind_g a^k = _. Д-НО.

Опр. Пусть

Пусть НОД(b,m)=1 и НОД(a,m)=1, g - первообразный корень по модулю m, тогда .

Д-во: по предыдущему свойству

,

Но по опр. = , т.е. . Д-но.

38. Формула перехода от системы индексов с основанием к системе индексов с основанием (пример 1).

g, g₁ – первообразные корни по модулю m.

НОД(a,m)=1 a=g^α(mod m)

a=g₁^α1(mod m) α =ind_ga = ind_gg₁^α1(mod ᵠ(m))

ind_ga = α₁ ind_gg1(mod ᵠ(m))

ind_ga = ind_g1a ind_gg1(mod ᵠ(m))

Пример:

ind ₁₀43 = 13 ind ₆43 = ?

Решение:

ind₁₀43 = ind₆43 * ind₁₀6(mod 58)

13= ind₆43*57(mod 58) ind ₁₀6=57

ind₆43 = 45 (mod 58)

39. Таблица индексов по .

Опр. Пусть m – модуль, a,b –взаимно простые с модулем числа. Число sϵN такое, что a^s=b(mod m) , называется индексом b по модулю а.

ind_ab

a^indab=b(mod m)

m=11 ᵠ(m)=10

2⁵=–1(mod 11) или 2⁵=10(mod 11)

2 – первообразный корень по модулю 11

Р(2)=10, т.е. 2 – первообразный корень.

Пояснение:

2=2(mod 11)

2³=8(mod 11)

2⁶=9(mod 11)

2⁷=7(mod 11)

2⁸=3(mod 11)

2⁹=6(mod 11)

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ind x (mod 11)	0	1	8	2	4	9	7	3	6	5