11. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что если — точка сходимости ряда (30.2), то ряд сходится абсолютно во всех точках интервала Если— точка расходимости (30.2), то ряд расходится во всех точках интервалов Отсюда делаем вывод, что существует такое число R, что на (-R, R) ряд (30.2) сходится абсолютно, а на расходится. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Т: Областью сходимости ряда (30.2) является интервал (-R, R), В каждой точке этого интервала ряд сходится абсолютно, а на интервалах — расходится

Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости ряда (30.2), a R — его радиусом сходимости. Для некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R= 0), для других — охватывает всю ось OX(R=). При х= R ряд может и сходиться, и расходиться (вопрос решается для каждого конкретного ряда).

Укажем способ определения радиуса сходимости ряда (30.2). Рассмотрим ряд из абсолютных величин его членови применим к нему признак Даламбера:

Если то ряд из абсолютных величин членов (30.2) сходится и ряд (30.2) сходится абсолютно. Обозначим

(30.4)

При ряд (30.2) расходится, так как общий член ряда не стремится к 0. Таким образом, формула (30.4) дает радиус сходимости.

12. Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

13. Разложение некоторых функций в ряд Маклорена