3. Подбор частного решения

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

y(n) + an-1y(n - 1) + ... + a1y' + a0y = f(x).

Коэффициенты an-1, ... , a1, a0 — постоянные десйствительные числа, f(x) — непрерывная на [a, b] правая часть.

Общее решение этого уравнения имеет вид y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + ... + Cnyn(x) + y*(x),

где С1, С2, ..., Сn — произвольные постоянные, y1(x), y2(x), ..., yn(x) — фундаментальная система решений однородного уравнения, y*(x) — частное решение неоднородного уравнения.

Здесь Mm(x) — многочлен степени m, Nn(x) — многочлен степени n, α и β — действительные числа.

Метод подбора вычисления частного решения линейного неоднородного уравнения с квазимногочленом в правой части состоит в том, что частное решение уравнения

отыскивают в виде

y*(x) = exp(αx)(Pk(x)cos(βx) + Qk(x)sin(βx))xr,

где Pk(x) и Qk(x) — многочлены степени k = max(n, m) с неизвестными коэффициентами,

Pk(x) = pkxk + pk-1xk-1 + ... + p1x + p0, Qk(x) = qkxk + qk-1xk-1 + ... + q1x + q0.

Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты многочленов Pk(x) и Qk(x) , подставляем y*(x) = exp(αx)(Pk(x)cos(βx) + Qk(x)sin(βx)) в уравнение и приравниваем в правой и левой части полученного равенства коэффициенты при

exp(αx)cos(βx), exp(αx)sin(βx), xexp(αx)cos(βx), xexp(αx)sin(βx), x2exp(αx)cos(βx), x2exp(αx)sin(βx), ..., xkexp(αx)cos(βx), xkexp(αx)sin(βx).

Полученная таким образом система 2k + 2 уравнений относительно 2k + 2 неизвестных имеет единственное решение.

Частное решение y*(x) можно найти методом подбора, если правая часть уравнения — квазимногочлен — функция вида

f(x) = exp(αx)(Mm(x)cos(βx) + Nn(x)sin(βx)).

4. Метод вариации произвольных постоянных дифференциал уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Если общее решение y0 ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

Вместо постоянных C1 и C2 будем рассматривать вспомогательные функции C1(x) и C2(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение

удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f(x).

Неизвестные функции C1(x) и C2(x) определяются из системы двух уравнений:

5. Числовыи ряд : Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Тогда выражение

(1)

называется числовым рядом. Здесь – общий член ряда.

Примеры:

1. .

2. .

Определение. Суммы вида называются частичными суммами ряда (1).

Определение. Если последовательность частичных сумм имеет предел, то ряд (1) называется сходящимся. Этот предел называется суммой ряда

6. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости

1. Признак сравнения. Имеем два ряда с положительными членами

; (2)

. (3)

Пусть имеется такой номер N, что для всех членов ряда, у которых выполняется . Тогда из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (3).

2. Признак Даламбера

Пусть дан ряд с положительными членами и существует . Тогда при ряд сходится, а при расходится, а при вопрос остается открыты