7. Знакочередующиеся ряды признак лейбница

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для ряда

выполняются следующие условия:

(знакочередование)

(монотонное убывание {an})

Тогда этот ряд сходится. Знакочередующийся ряд/рамка Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым.

8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.

Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что

1. an+1 < an для всех n;

2.

Тогда знакочередующиеся ряды

и сходятся.

А бсолютная и условная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.

Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Пример 1

Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем

Поскольку . Следовательно, данный ряд сходится.

9. Функционального ряда.

понятие функционального ряда

определение: это такой ряд , у которого каждый его член является Функцией одного переменного.

Сходимость функционального ряда

        Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости.

         Пусть сказано «функциональный ряд сходится в области G». Что это значит? Это значит, что он сходится в каждой точке этой области, то есть

.

Самым неприятным является тут то, что   зависит не только от , но  и от z. Из-за этой зависимости ряд может иметь очень неприятные свойства. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда.

         Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

Обратите внимание на то, куда переместился квантор   и на то, что теперь   зависит только от .

         Равномерно сходящиеся ряды обладают очень хорошими свойствами, которые будут описаны ниже.

         Признак Вейерштрасса. Если существуют такие неотрицательные числа  , что

         1.  ,  ;

         2.  ,

то ряд   сходится равномерно в области G.

 Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

         Не давая точных формулировок, перечислим свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

         1. Если все   непрерывны в области G, то сумма ряда   есть также непрерывная области G функция.

         2. Если все   аналитичны в области G, то сумма ряда   есть также аналитическая в области G функция.

         3. Если ряд   сходится равномерно в области G, то в нем допустим почленный переход к пределу, то есть

.

10. Степенные ряды

Функциональный ряд вида   (где x0 и   - заданные числа) называется степенным рядом. Степенной ряд сходится в точке x = x0 всегда. Задача - исследовать степенной ряд на сходимость  . С помощью замены t = x − x0 данный степенной ряд можно привести к виду   - сходится при t = 0.

Теорема Абеля.  Пусть степенной ряд   сходится в какой-то точке  . Тогда этот ряд сходится   (абсолютно).

Доказательство. Ряд   сходится в точке x1 в обычном смысле   сходится   числовая последовательность   сходится к нулю   ограничена, то есть 

Рассмотрим  . Обозначим 

Рассмотрим  :   сходится, следовательно числовой ряд   (для фиксированного x) сходится по признаку сравнения    сходится абсолютно на множестве | x | < | x1 |

Следствие. Если степенной ряд   расходится в точке x2, то этот ряд расходится  .

Определение. Если R - неотричательное число или   обладает тем свойством, что степенной ряд   сходится на множестве | x | < R и расходится на множестве | x | > R, то R называется радиусом сходимости данного степенного ряда. В этом случае интервал ( − R,R) называется интервалом сходимости степенного ряда. Область сходимости степенного рядка может не совпадать с интервалом сходимости, так как может включаться точка