15. Булевы функции. Булева алгебра.

Бу́лева фу́нкция от n переменных — отображение Bn → B, где B = {0,1} — булево множество. Каждая булева функция арности n полностью определяется заданием своих значений на своей области определения, то есть на всех булевых векторах длины n. Число таких векторов равно 2n. Поскольку на каждом векторе булева функция может принимать значение либо 0, либо 1, то количество всех n-арных булевых функций равно 22n.

Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями ۸ (аналог конъюнкции), ۷ (аналог дизъюнкции), унарной операцией ¬ (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

1. ассоциативность ,

2. коммутативность ,

3. законы поглощения ,

4. дистрибутивность ,

5. дополнительность ,

16. Многочлен Жегалкина.

Полином Жегалкина —многочлен над Z2 , то есть полином с коэффициентами вида 0 и 1, где в качестве произведения берется конъюнкция, а в качестве сложения исключающее или. Полином Жегалкина можно представить в виде:

17. Предполные классы.

Предполный класс- замкнутый класс булевых функций, обладающий следующим свойством - замыкание объединения этого класса с любой булевой функцией, не принадлежащей ему, порождает все Р2 .

Также говорят о предполноте одного замкнутого класса в другом. Класс A предполон в классе B, если замыкание класса A с любой функцией, принадлежащей B, но не принадлежащей A, порождает класс B.

В многозначной логике предполные классы аналогично определяются как замкнутые классы, обладающие свойством - замыкание объединения этого класса с любой функцией из Рк, не принадлежащей ему, порождает все Рк. Но в случае k>2 на данный момент нет общего описания структуры предполных классов в отличие от двузначной логики.

18. Теорема Поста (критерий полноты системы булевых функций).

(Теорема Поста о полноте) Система булевых функций F является полной тогда и только тогда, когда она не содержится ни в одном из классов S0, S1, S, M, L т.е. когда в ней имеется хотя бы одна функция, не сохраняющая 0, хотя бы одна функция, не сохраняющая 1, хотя бы одна несамодвойственная функция, хотя бы одна немонотонная функция и хотя бы одна нелинейная функция.

Для доказательства достаточности предположим, что F Содержит не сохраняющую 0 функцию не сохраняющую 1 функцию несамодвойственную функцию немонотонную функцию и нелинейную функцию / Покажем, что с помощью этих функций всегда можно выразить функции одной из двух уже известных нам полных систем: или . Для этого установим, что:

1. используя f0, f1 и fs, можно выразить константы 0 и 1;

2. с помощью констант из fm можно получить отрицание ;

3. с помощью констант и отрицания из fl можно получить конъюнкцию или дизъюнкцию

19. Основные понятия теории графов.

Граф это множество точек или вершин и множество линий или ребер, соединяющих между собой все или часть этих точек. Вершины, прилегающие к одному и тому же ребру, называются смежными.

Если ребра ориентированны, что обычно показывают стрелками, то они называются дугами, и граф с такими ребрами называется ориентированным графом.

Если ребра не имеют ориентации, граф называется неориентированным.

Графы обычно изображаются в виде геометрических фигур, так что вершины графа изображаются точками, а ребра - линиями, соединяющими точки. Путь в ориентированном графе — это последовательность дуг, в которой конечная вершина всякой дуги, отличной от последней, является начальной вершиной следующей.

Маршрут- в графе путь, ориентацией дуг которого можно пренебречь.

Цепь- маршрут, в котором все ребра попарно различны.

Цикл- замкнутый маршрут, являющийся цепью.

Маршрут, в котором все вершины попарно различны, называют простой цепью. Цикл, в котором все вершины, кроме первой и последней, попарно различны, называются простым циклом.