4. Вариационная задача с подвижными границами. Задача с подвижными концами.

Вариационная задача с подвижными границами- в простейшей задаче в качестве краевых условий, определяющих класс допустимых функций, берется условие закрепления концов.

Задача с подвижными концами- такая задача состоит в определении кривой — графика функции , концы которого расположены на вертикальных прямых и для которой соответствующее значение функционала является экстремальным. Это задача вариационного исчисления, в к-рой концы кривой, доставляющей экстремум, могут перемещаться вдоль заданных многообразий .Для допустимой вариации аргумента условие теперь не требуется, так что допустимыми вариациями аргумента являются любые функции .

Задачей с подвижными концами называется следующая задача в пространстве

,

5. Вариационная задача с подвижными границами. Задача с подвижными границами.

Вариационная задача с подвижными границами- в простейшей задаче в качестве краевых условий, определяющих класс допустимых функций, берется условие закрепления концов.

При исследовании функционала предполагается, что граничные точки заданы. Предположим теперь, что одна или обе граничные точки могут перемещаться, тогда класс допустимых кривых расширяется. Поэтому, если на какой-нибудь кривой y=U(x) достигается экстремум в задаче с подвижными граничными точками, то экстремум тем более достигается по отношению к более узкому классу кривых, имеющих общие граничные точки с кривой y=U(x), и, следовательно, должно быть выполнено необходимое для достижения экстремума условие – функция U(x) должна быть решением уравнения Эйлера:

Общее решение уравнения Эйлера содержит две произвольные постоянные, для определения которых необходимо иметь два условия. ,

6. Вариационные задачи на условный экстремум.

Условным экстремумом называется экстремум не на всей области определения функции (функционала), а на определённом её подмножестве, выделяемом специально наложенным условием.

Основные виды задачи на условный экстремум:

1. Надо найти экстремум функционала U(f) при условии равенства нулю другого функционала V(f)=0

2. Надо найти экстремум функционала U(f) при условии V1(f)=0, V2(f)=0, …, Vn=0

3. Надо найти экстремум функционала U(f) при условии выполнения для f уравнения

К первым двум случаям применяется метод неопределенных множителей Лагранжа.

Третий же случай рассмотрим для интегрального функционала , Тогда нахождение условного экстремума сводится к варьированию функционала: ,

7. Постановка задачи оптимального управления.

Задача оптимального управления состоит в отыскании управления , обеспечивающего экстремум этого функционала:

, , , .

Управление , обеспечивающее экстремум критерия качества , называется оптимальным управлением, а соответствующая этому уравнению фазовая траектория оптимальной траекторией.

Будем рассматривать объект, состояние которого в фиксированный момент времени описывается набором из чисел . Например, если объект есть движение материальной точки в пространстве, то координаты точки; если объект – электрическая цепь, то напряжения или токи в различных участках цепи, если объект – течение химической реакции, то количества различных ингредиентов, катализаторов. Эти числа называют координатами фазового состояния. Предположим, что объект находится под воздействием управления, параметры которого в каждый момент времени описываются набором из чисел (например, углы поворота рулей, мощность двигателя; в химической реакции – количество добавляемых или убираемых ингредиентов, и т.д.). Этот набор чисел составляет вектор управления Ū