Высказывания. Предикаты. Виды предикатов.
Высказывание- законное повествовательное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно. Законы логики:
Всякое высказывание является либо истинным, либо ложным.
никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.
предложение, о кот. Невозможно сказать истинно оно или ложно высказыванием не является.
Часто встречаются такие повествовательные предложения, истинные значения кот. Зависят от переменных.
Предложение содержащее переменные называется предикатами.
Виды предикатов:
Тождественно-истинные: при любом значении аргумента предикат принимает только истинные значения.
Тождественно-ложные.
Выполнимые: если предикат не является ни тожд.-истин., ни тожд.-ложным.
Операции над высказываниями (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, штрих Шеффера, сумма по модулю два).
Отрицание. Из всякого высказывания А можно получить новое высказывание, отрицая его, т.е. утверждая, что высказывание А не имеет смысла. Ᾱ
Конъюнкция. Одновременно имеют место и А, и В.
Дизъюнкция. Имеет место хотя бы одно из высказываний А, В.
Импликация. Под импликацией Р(х)->Q(х) понимают предикат, зависящий от той же переменной след. образом: если при конкретном значении х, Р(х)-истина, а Q(х)-ложь, то импликация ложна. Во всех остальных случаях импликация истинна.
Эквиваленция. 2 предиката Р и Q называются эквивалентными, если из предиката Р->Q и из Q->P
Штрих Шеффера — бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Как и любую булеву операцию, штрих Шеффера можно выразить через отрицание и дизъюнкцию:
,
либо через отрицание и конъюнкцию:
Сумма по модулю два- булева функция, а также логическая и битовая операция. Результат выполнения операции является истинным, если только один из аргументов является истинным. Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю.
Конъюнктивная и дизъюнктивная нормальные формы. Их свойства. Приведение формул логики к кнф, днф.
Формула D называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ), если она является дизъюнкцией элементарных конъюнкций, т.е. имеет вид D= К1۷К2۷…۷Кi , где каждая формула Ki(i=1…r) - это элементарная конъюнкция . Аналогично, формула C называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ), если она является конъюнкцией элементарных дизъюнкций, т.е. C= D1۷D2۷…۷Dj , где каждая формула Dj (j=1,...,r) - это элементарная дизъюнкция .
Свойства ДНФ.
1. Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F(x1,x2,...xn)
2. Все логические слагаемые формулы различны
3. Ни одно логическое слагаемое не содержит переменную и её отрицание
4. Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.
Поскольку КНФ и ДНФ взаимодвойственны, свойства КНФ повторяют все свойства ДНФ.
Приведение формул логики к ДНФ:
1. Выражают все логические операции в формуле через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание.
2. Используя законы Де-Моргана переносят все отрицания к переменным и сокращают двойные отрицания.
3. Используют закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции, преобразуют формулу так, чтобы все конъюнкции встречались раньше дизъюнкции.
Алгоритм приведения к КНФ аналогичен, только на шаге 3 делают так, чтобы все дизъюнкции встречались раньше конъюнкции.