- •1.Понятие функции нескольких переменных.
- •2. Предел и непрерывность функции двух переменных.
- •3. Непрерывность.
- •4. Частные производные.
- •6. Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
- •7. Достаточное условие экстремума ф–ции двух переменных.
- •10. Методы наименьших квадратов…
- •Метод наименьших квадратов
- •11.Понятие неопределенного интеграла
- •17. Интегрирование рациональных функций.
- •18. Интегрирование рациональных функций.
- •20. Приложение определенного интеграла в геометрии и экономике.
- •22. Формула Ньютона-Лейбница.
- •23,24. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •25.Площадь плоской фигуры.
- •26.Объем тела вращения.
- •28. Несобственные интегралы.
- •Интегралы с бесконечными пределами.
- •29. Несобственные интегралы от неограниченной функции.
- •30. Приближенное вычисление опред. Интеграла
- •31. Дифференциальные уравнения (основные понятия).
- •32. Ду первого порядка. Задача и теорема Коши.
- •35.Ду с разделяющимися переменными.
- •37 Линейные ду первого порядка
- •39. Линейные нердн. Ур-ния 2-го порядка
- •40. Линейные неоднородные ду второго порядка с постоянными коэффициентами и спец-й правой частью.
- •41. Метод вариации произвольной постоянной
- •42.43. Понятие числового ряда и сумма ряда. Геометрический ряд. Некоторые свойства числовых рядов.
- •44. Необходимый признак сходимости.
- •45. Признак сравнения
- •46. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка.
- •47. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •48. Понятие функционального ряда. Область сходимости.
- •49.Степенные ряды. Теорема Абеля
- •50.Свойства степенных рядов
- •51,52.. Разложение в степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена.
- •53. Разложение функций sin X, cos X, ex в ряд Маклорена. Биномиальный ряд
39. Линейные нердн. Ур-ния 2-го порядка
ур-ние вида: у”+py’+qy=f(x)(1) (f(x)не =0)
теорема: общ реш ур-ния 1 наход по формуле y=Z+Y, где Z=c1y1+c2y2 – общ реш соответств однор ур-ния. У-частное реш неоднор ур-ния(1)(без док-ва).
40. Линейные неоднородные ду второго порядка с постоянными коэффициентами и спец-й правой частью.
y”+py’+py= Pn(x), где ; Pn(x)-многочлен в степ n
1) не явл корнем характер ур-ния k2+pk+q=0
тогда частн реш исходн ур-ния исчем в виде Y= Qn(x), Qn(x)- мнг-лен степ n с неопред коэф
2) - явл однокр корнем характ ур-ния . Частн реш: Y=xe
3) - двукр корень характ ур-ния Частн реш: Y= x2e
41. Метод вариации произвольной постоянной
Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.
. Далее находится решение получившегося однородного диф уравнения.
Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х.
Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:
Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение
Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х):
Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:
42.43. Понятие числового ряда и сумма ряда. Геометрический ряд. Некоторые свойства числовых рядов.
Пусть дана последовательность а1, а2, а3,…, аn ... Выражение а1+а2+а3+...+аn... называется числовым рядом. Числа а1, а2, а3 – называются членами ряда, аn - общий член ряда (n –ый член ряда)
1+1\2+1\4+1\8+1\16+...+1\2n+…=2
1\2+1\4+1\8+1\16+…+1\2n +...=1
Сумма ряда.
Пусть дан числовой ряд а1+а2+а3+...+аn...
Составим суммы
S1=a1; S2=a1+a2; S3=a1+a2+a3; S n=a1+a2+…+an
Суммой S1, S2,…,S n - называются частичными суммами ряда, Они образуют бесконечную числовую последовательность.
1. Если существует lim S n равный S, то говорят, что ряд n →∞ сходится и его сумма равна S.
2. Если Lim S n не существует или равен бесконечности n →∞ , то говорят, что ряд расходится.
44. Необходимый признак сходимости.
Если ряд аn сходится, an=0
Доказательство:
Sn = a1+a2+…+an , Sn-1 = a1+a2+…+an-1, следовательно an = Sn-Sn-1 = an = Sn – Sn-1 = S-S=0, ч.т.д.
Следствие:
Если an не равно нулю, то ряд расходится.
Доказательство:
Если предположить в этом случае, что ряд сходится, то из необходимого признака следует, что an = 0, что противоречит условию.
Гармонический ряд.
1+1/2+1/3+…+1/n+…
гармонический ряд расходится.
45. Признак сравнения
Пусть даны 2 ряда с неотр членами
a1+a2+…..+an+….(1) an>=0
b1+b2+…+bn+…(2) bn>=0
и для всех n или начин с некотор номера n выполн неравенство an<=bn(3) , тогда 1) из сход ряда (2) следует сход ряда (1)
2) из расход ряда 1, следует расход ряда (2)
док-во:1) обозн через Sn и n – частичные суммы ряда (1) и (2). Т.к. ряд (2) сход то его част суммы n ограниченны из нер-ва (3)=> что Sn =< n => {Sn} тоже огранич. Т.к. члены ряда (1) не отриц, то последов частичн сумм Sn не убыв. Итак мы получ что послед Sn не убыв и огранич => она сход, а знач сходится и (1)
2) пусть (1) расход. Док-ем что (2) тоже расх. Предпол, что (2) – сход, а т.к. an=<bn, то из первой части теоремы => (1) – сход, что противор усл теоремы => (2) расход
Призн сравн в пред форме.
Пусть члены ряда (1) , (2) полож и сущ => =L (0<L< )
Тогда эти ряды одновр сход или расход
Признак Д’Аламбера: Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел (1). Тогада: при l<1 ряд сходится; при l>1 ряд расходится; при l=1 вопрос остается открытым.
расходится.
Признак Коши: Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Тогда при l<1 ряд расходится; при l>1 ряд расходится; при l=1 вопрос остается открытым.
Интегральный прзнак Коши-Маклорена: Пусть дан ряд , члены к-рого положит-ны и не возрастают: a1≥a2≥ …≥an≥…Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл .