39. Линейные нердн. Ур-ния 2-го порядка

ур-ние вида: у”+py’+qy=f(x)(1) (f(x)не =0)

теорема: общ реш ур-ния 1 наход по формуле y=Z+Y, где Z=c₁y₁+c₂y₂ – общ реш соответств однор ур-ния. У-частное реш неоднор ур-ния(1)(без док-ва).

40. Линейные неоднородные ду второго порядка с постоянными коэффициентами и спец-й правой частью.

y”+py’+py= P_n(x), где ; P_n(x)-многочлен в степ n

1) не явл корнем характер ур-ния k²+pk+q=0

тогда частн реш исходн ур-ния исчем в виде Y= Q_n(x), Q_n(x)- мнг-лен степ n с неопред коэф

2) - явл однокр корнем характ ур-ния . Частн реш: Y=xe

3) - двукр корень характ ур-ния Частн реш: Y= x²e

41. Метод вариации произвольной постоянной

Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.

. Далее находится решение получившегося однородного диф уравнения.

Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С₁ некоторой функцией от х.

Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:

Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение

Из этого уравнения определим переменную функцию С₁(х):

Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:

42.43. Понятие числового ряда и сумма ряда. Геометрический ряд. Некоторые свойства числовых рядов.

Пусть дана последовательность а₁, а₂, а₃,…, а_n ... Выражение а₁+а₂+а₃+...+а_n... называется числовым рядом. Числа а₁, а₂, а₃ – называются членами ряда, а_n - общий член ряда (n –ый член ряда)

1+1\2+1\4+1\8+1\16+...+1\2ⁿ+…=2

1\2+1\4+1\8+1\16+…+1\2ⁿ +...=1

Сумма ряда.

Пусть дан числовой ряд а₁+а₂+а₃+...+а_n...

Составим суммы

S₁=a₁; S₂=a₁+a₂; S₃=a₁+a₂+a₃; S _n=a₁+a₂+…+a_n

Суммой S₁, S₂,…,S _n - называются частичными суммами ряда, Они образуют бесконечную числовую последовательность.

1. Если существует lim S _n равный S, то говорят, что ряд n →∞ сходится и его сумма равна S.

2. Если Lim S _n не существует или равен бесконечности n →∞ , то говорят, что ряд расходится.

44. Необходимый признак сходимости.

Если ряд а_n сходится, a_n=0

Доказательство:

S_n = a₁+a₂+…+a_n , S_n-1 = a₁+a₂+…+a_n-1, следовательно an = S_n-S_n-1 = a_n = S_n – S_n-1 = S-S=0, ч.т.д.

Следствие:

Если a_n не равно нулю, то ряд расходится.

Доказательство:

Если предположить в этом случае, что ряд сходится, то из необходимого признака следует, что a_n = 0, что противоречит условию.

Гармонический ряд.

1+1/2+1/3+…+1/n+…

гармонический ряд расходится.

45. Признак сравнения

Пусть даны 2 ряда с неотр членами

a₁+a₂+…..+a_n+….(1) a_n>=0

b₁+b₂+…+b_n+…(2) b_n>=0

и для всех n или начин с некотор номера n выполн неравенство a_n<=b_n(3) , тогда 1) из сход ряда (2) следует сход ряда (1)

2) из расход ряда 1, следует расход ряда (2)

док-во:1) обозн через S_n и _n – частичные суммы ряда (1) и (2). Т.к. ряд (2) сход то его част суммы _n ограниченны из нер-ва (3)=> что S_n =< _n => {S_n} тоже огранич. Т.к. члены ряда (1) не отриц, то последов частичн сумм S_n не убыв. Итак мы получ что послед S_n не убыв и огранич => она сход, а знач сходится и (1)

2) пусть (1) расход. Док-ем что (2) тоже расх. Предпол, что (2) – сход, а т.к. a_n=<b_n, то из первой части теоремы => (1) – сход, что противор усл теоремы => (2) расход

Призн сравн в пред форме.

Пусть члены ряда (1) , (2) полож и сущ => =L (0<L< )

Тогда эти ряды одновр сход или расход

Признак Д’Аламбера: Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел (1). Тогада: при l<1 ряд сходится; при l>1 ряд расходится; при l=1 вопрос остается открытым.

расходится.

Признак Коши: Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Тогда при l<1 ряд расходится; при l>1 ряд расходится; при l=1 вопрос остается открытым.

Интегральный прзнак Коши-Маклорена: Пусть дан ряд , члены к-рого положит-ны и не возрастают: a₁≥a₂≥ …≥a_n≥…Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл .