11.Понятие неопределенного интеграла

Опр. Ф–ция F(x) называется первообразной для ф–ции f(x) на некотором промежутке Х, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство: F'(x)=f(x)/

Опр.Множество всех первообразных для ф–ции f(x) называется неопределённым интегралом от ф–ции f(x) и обозначается

f(x)–подинтегральная ф–ция

f(x)dx–подинтегральное выражение

x– переменная интегрирования

Отыскание неопределённого интеграла от подынтегральной ф–ции называется интегрированием этой ф–ции.

12.Основные св–ва неопределённого интеграла

1)

Док–во:

2)

3)

4)

5)

13.Интегралы от основных функций

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14.Метод замены переменной

Метод подстановки заключается в том, что переменную интегрирования х заменяют другой переменной t при помощи формулы t=Y(x), где Y(x) - дифференцир. фун-ция. Можно производить замену выражая не t через х, а х через t с помощью формулы x=ψ(t), ψ(t) - где дифференц. фун-ция.

15.Метод интегрирования по частям

Теорема. Пусть U(x), V(x) – дифференцируемые функции на некотором промежутке Х и на этом промежутке существует J VdU, тогда на нем существует J UdV и имеет место J UdV= UV – J VdU.

Док-во. Найдем дифференциал от произведения функции UdV.

d(VU)=(UV)’dx–(U’V+UV’)dx=VU’dx+UV’dx=VdU+UdV;d(UV)=VdU+UdV; UdV=D(UV) – VdU; проинтегрируем обе части этого рав-ва: J UdV=J d(UV) – JVdU;

J UdV= UV- J VdU

Большую часть интегралов, которую находят с помощью формулы интегрирования можно разделить на 3 группы:

I. J P(x) arcsinxdx

J P(x) arccosxdx

J P(x) arctgxdx

J P(x) arcctgxdx

за U берем обратную тригонометрическую функцию

II. J P(x)sinαxdx; J P(x) cosαxdx; J P(x) e^αxdx – за U берем P(x)

III. J e^αx*sinβxdx; Je^αxcosβxdx – за U- любую тригонометрическ. Функцию. В этом случае интегриров. по частям след. примен. дважды.

16.

17. Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби P(x)/Q(x), причём степень числителя P(x) ниже степени знаменателя Q(x). Решается данная задача с помощью метода неопределённых коэффициентов. Если знаменатель правильной рациональной дроби раскладывается на множители:Q(x) = (x-a)^a (x-b)^b (x²+px+q)^y…(x²+kx+r)^z, где корни трёхчленов комплексные, то правильная дробь раскладывается на сумму простых дробей:

P(x)/Q(x) = A₁/ (x-a)+A₂/ (x-a)²+…+A_a /(x-a)^a+B₁/(x-b)+B₂/ (x-b)²+…+B_b/ (x-b)^b+…+(M₁x+N₁)/ (x²+px+q)+ (M₂x+N₂)/ (x²+px+q)²+…+(M_yx+N_y)/ (x²+px+q)^y+…+(C₁x+D₁)/ (x²+kx+r)+(C₂x+D₂)+ …+(С_zx+D_z)/ (x²+kx+q)^z ,

(a, b, …, z принадлежат N). Для вычисления неопределённых коэффициентов A₁, A₂,…, обе части равенства умножением его на знаменатель приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x. Можно также определять эти коэффициенты, полагая в равенстве x равным числам, подобранным соответствующим образом. P(x) и Q(x) – многочлены

18. Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби P(x)/Q(x), причём степень числителя P(x) ниже степени знаменателя Q(x). Решается данная задача с помощью метода неопределённых коэффициентов. Если знаменатель правильной рациональной дроби раскладывается на множители:Q(x) = (x-a)^a (x-b)^b (x²+px+q)^y…(x²+kx+r)^z, где корни трёхчленов комплексные, то правильная дробь раскладывается на сумму простых дробей:

P(x)/Q(x) = A₁/ (x-a)+A₂/ (x-a)²+…+A_a /(x-a)^a+B₁/(x-b)+B₂/ (x-b)²+…+B_b/ (x-b)^b+…+(M₁x+N₁)/ (x²+px+q)+ (M₂x+N₂)/ (x²+px+q)²+…+(M_yx+N_y)/ (x²+px+q)^y+…+(C₁x+D₁)/ (x²+kx+r)+(C₂x+D₂)+ …+(С_zx+D_z)/ (x²+kx+q)^z ,

(a, b, …, z принадлежат N). Для вычисления неопределённых коэффициентов A₁, A₂,…, обе части равенства умножением его на знаменатель приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x. Можно также определять эти коэффициенты, полагая в равенстве x равным числам, подобранным соответствующим образом. P(x) и Q(x) – многочлены

19.