- •1.Понятие функции нескольких переменных.
- •2. Предел и непрерывность функции двух переменных.
- •3. Непрерывность.
- •4. Частные производные.
- •6. Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
- •7. Достаточное условие экстремума ф–ции двух переменных.
- •10. Методы наименьших квадратов…
- •Метод наименьших квадратов
- •11.Понятие неопределенного интеграла
- •17. Интегрирование рациональных функций.
- •18. Интегрирование рациональных функций.
- •20. Приложение определенного интеграла в геометрии и экономике.
- •22. Формула Ньютона-Лейбница.
- •23,24. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •25.Площадь плоской фигуры.
- •26.Объем тела вращения.
- •28. Несобственные интегралы.
- •Интегралы с бесконечными пределами.
- •29. Несобственные интегралы от неограниченной функции.
- •30. Приближенное вычисление опред. Интеграла
- •31. Дифференциальные уравнения (основные понятия).
- •32. Ду первого порядка. Задача и теорема Коши.
- •35.Ду с разделяющимися переменными.
- •37 Линейные ду первого порядка
- •39. Линейные нердн. Ур-ния 2-го порядка
- •40. Линейные неоднородные ду второго порядка с постоянными коэффициентами и спец-й правой частью.
- •41. Метод вариации произвольной постоянной
- •42.43. Понятие числового ряда и сумма ряда. Геометрический ряд. Некоторые свойства числовых рядов.
- •44. Необходимый признак сходимости.
- •45. Признак сравнения
- •46. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка.
- •47. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •48. Понятие функционального ряда. Область сходимости.
- •49.Степенные ряды. Теорема Абеля
- •50.Свойства степенных рядов
- •51,52.. Разложение в степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена.
- •53. Разложение функций sin X, cos X, ex в ряд Маклорена. Биномиальный ряд
20. Приложение определенного интеграла в геометрии и экономике.
Определённым интегралом функции f(х) непрерывной на отрезке а, b называется предел интегральной суммы, независящий от дробления отрезка а, b на частичные и выбора точек i когда наибольшая из длин частичных отрезков стремится к нулю.
Геометрический смысл – интегральная сумма равно площади под ломанной.
Экономический смысл – Если f(t) – производ-ть труда в нек. Момент времени t, то
t
f(t)dt – объём произвед. Продукции за время [o;t]
0 Теорема(достаточное усл. Сущ.) – Если ф-ия у= f(х) непрерывна на интервале [ав], то она интегрируема на этом отрезке.
21.Св-ва определенных интегралов:
ba∫c*f(x)dx=c* ab∫f(x)dx.
ba ∫(f1(x)+f2(x))dx= ba ∫f1(x)dx+ ba ∫f2(x)dx.
ba∫f(x)dx=- a b∫f(x)dx.
ba∫f(x)dx=ca∫f(x)dx+ bc∫f(x)dx.
ba∫f(x)dx=f(c)*(b-a).
f(x)>=0 на [a;b], то ba∫f(x)dx>=0.
f1(x)=<f2(x) при х€[a;b], ba ∫f1(x)=< ba ∫f2(x)dx.
m(b-a)=< ba ∫f(x)dx=<M(b-a)
- ba ∫│f(x)│=<dx ba ∫f(x)dx=< ba ∫│f(x)│dx.
22. Формула Ньютона-Лейбница.
Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то
) = F(x) .
23,24. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
Теорема. Если φ:[α,β]→[a,b] − непрерывно дифференцируемое отображение отрезка α ≤ t ≤ β в отрезок a≤x≤b, такое, что φ(α)=a и φ(β)=b, то при любой непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x) функция f(φ(t))φ'(t) непрерывна на отрезке [a,b] и справедливо равенство
Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b], то справедлива следующая формула интегрирования по частям:
25.Площадь плоской фигуры.
Площадь криволинейной трапеции, прилежащей к оси ОХ и ограниченной линиями у=f(x)>=0, x=a, x=b, y=0 находится по формуле . Если фигура ограничена линиями у=f(x), y=(x),
x=a, x=b, то площадь находится по формуле f(x) - (x))dx (кривая f(x) лежит выше кривой (x) ). Площадь криволинейной трапеции прилежащей к оси ОУ находится по формуле (y)dy.
26.Объем тела вращения.
Найдем объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=f(x)>=0, x=a, x=b, y=0. Предположим, что f(х) - непрерывная функция. Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей точками a=xo< x1< x2<…< x n-1<x n = b. Через каждую точку деления проведем плоскость оси ОХ. Все тело разобьется на n слоев. На каждом из частичных отрезков [хi-1; xi] выберем произвольным образом точку хi-1<=<= xi . Объем каждого слоя заменим объемом цилиндра, высота которого xi , а R= f(). Объем ступенчатого тела =f2(1) x1 +f2(2) x2 +…+ f2(n) xn = f2(i) xi . Это интегральная сумма для функции f2(x) на отрезке [a;b] . Т.к. функция f(x) непрерывна, то существует предел = f2(i) xi = = {xi}. Этот предел и принимает за объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции оси ОХ. V= (вращение вокруг оси ОХ). V= (вращение вокруг оси ОУ).
27.Длина дуги кривой. Под длиной дуги понимают предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает неограниченно, а долина наибольшего звена стремится к нулю. В этом случае кривая называется спрямляемой. Пусть кривая задана непрерывной функцией y=f(х), которая имеет непрерывную производную f ’(х) на отрезке [a,b] , т.е. кривая является гладкой. Впишем в данную кривую ломаную линию М0М1…Мn, где М0=А(а, f(а)) и Мn=В(b,f(b)). Проэцируем Мk-1Mk на ось Ох, получаем разбиение {xk} отрезка [a,b]. Пусть yk – приращение функции f(х) на отрезке [xk-1xk]. По т Пифагора . По т. Лагранжа о конечных приращениях : yk=xkf ’( k) ( k[ xk-1xk]), Мk-1Mk= xk. Длина всей ломаной: = xk. Тогда предел интегральн. суммы: l= xk.