6. Необходимое условие экстремума функции двух переменных.

Т. Если ф–ция z=f(x;y) имеет в т.М₀(х₀;y₀) экстремум и в этой точке конечный частные производные 1–ого порядка, то они =0, т.е. f '_x(x₀;y₀)=0 и f '_y(x₀;y₀)=0.

Док–во: рассмотрим в окрестности т.М₀ только те точки, для которых у=у₀. Тогда мы получим ф–цию f (x₀;y₀) одной переменной и т.к. эта ф–ция в т.М₀ имеет экстремум при х=х₀, то её первая производная f '_x(x₀;y₀)=0.

Аналогично можно показать, что в тМ₀ f '_y(x₀;y₀)=0

Точки, в которых частные производные 1–ого порядка обращаются в 0 называются критическими или подозрительными на экстремум.

7. Достаточное условие экстремума ф–ции двух переменных.

Пусть т.М₀(х₀;у₀) – критическая точка, т.е. f '_х(x₀;y₀) в этой точке =0 и f '_y(x₀;y₀)=0 и в некоторой окрестности точки М₀ и в самой точке М₀ ф–ция имеет вторые частные производные: f ^''_xx, f ^''_xy, f ^''_yy. Тогда если определитель

,

то ф–ция в точке М₀ имеет экстремум и если:

>0, то это минимум

<0, то это максимум

Если Δ<0, то экстремума нет.

Если Δ=0, то вопрос об экстремуме остаётся открытым: требуется дополнительное исследование.

8. Глобальный экстремум – наиб. и наим. знач. ф-ции на огран. замкнутом мн-ве.

1.Нахождение производной f’(x).

2.Решаем уравнение f’(x)=0, находим критические точки, в которых производная=0, или не существует.

3.Критическими точками разбиваем область определения на интервалы и определяем знак производной на каждом интервале. Если f’(x) меняет знак с + на - , то это точка max, если с – на +, то это точка min. Если производная не меняет знак, то функция f(x) в этой точке экстремума не имеет.

9……. Лангранж

Исслед. ф-ции на усл экстремум сводят к исслед. на обычный экстремум ф-ции Лагранжа

Константы назыв множит Лагранжа.

10. Методы наименьших квадратов…

В прикладных задачах техники, биологии, экономики зависимость между переменными х и у часто выражают ввиде таблицы: (1)

X	x1	x2	…….	xn
Y	y1	y2	…….	yn

Чтобы облегчить анализ изучаемой зависимости следует табличную ф–цию (1) представить некоторой ф–лой y=f(x) таким образом, чтобы её значение возможно мало отличалось от экспериментальных. Ф–лы, полученные на основе обработки экспериментальных данных называются эмпирическими. В экономических исследованиях наиболее часто используются следующие ф–лы:

1) y=ax+b 2) y=ax²+bx+c 3) y=a/x +b 4) y=a lnx+b 5) y=ax^b 6) y=ab^x

Построение эмпирической ф–лы состоит из 2–х этапов:

1.Выбор вида эмпирической ф–лы. Он устанавливается из теоретических соображений или по хар–ру расположения точек (x_i;y_i) на плоскости.

2.Определение параметров выбранной ф–лы.

Метод наименьших квадратов

1) Выравнивание по прямой.

Пусть дана таблица (1). Построим на пл–ти точки (х_і;у_і). Предположим, что точки распологаются вдоль некоторой прямой у=ах+b. Переберем параметры а и b таким образом, чтобы прямая наиболее близко подходила к данным точкам.

Е₁=ах₁+b-y₁

Е₂=ах₂+b-y₂

……………………….

Е_n=ах_n+b-y_n Для определения параметров а и b используем метод наименьших квадратов. Суть метода в том, чтобы определить а и b так, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей. Выясним при каких значениях а и b ф–ция Ф(а;b) принимает наименьшее значение

Найдём критические точки:

Это нормальная система метода наименьших квадратов.

Решив эту систему найдём координаты критических точек. Можно док–ть, что в найденной критической точке ф–ция Ф(а;b) имеет min.

2) Выравнивание по параболе y=ax²+bx+c. По аналогии с линейной ф–цией составляем ф–цию Ф(a,b,c)? которая даёт сумму квадратов отклонений, и находим её наименьшее значение:

Найдя частные производные и приравняв их к нулю, после преобразований получим линейную систему трёх уравнений с тремя неизвестными a,b,c:

Можно док–ть, что определитель этой системы не равен нулю, а следовательно, система имеет единственное решение