20. Случайные величины(св) – результаты эксперимента.

Величина числовое значение кот-ой при выполнении экспер-та нельзя предсказать наз случайной.θ – случайная величина. θ имеет ряд допустимых зн-ний: Х₁,Х₂, . . Х_n –допуст. зн-ния, но в результате измерения принимает лишь одно из них. Число допуст зн-ний может быть конечным и ∞. В соответствии с этим θ наз конечнозначной или ∞-ной. θ также бывают дискретными и непрерывными. Если м/у любыми зн-ми θ заключено лишь конечное число др допуст-х зн-ний то θ наз дискретной, в противном случае - непрерыв. В дальнейшем будем рассм-ть только бескон. непрерыв θ. Для полной хар-ки СВ необх-мо указать не только ее допуст зн-ния, но и как часто(с какой Р) принимает она эти допуст зн-ния, р₁,р₂, ..р_n – вер допуст зн-ний. Соответствие м/у доп знач СВ и вер-ми их появления наз ф-цией распределения. θ≤Х₁=А₁; р(А)=р(θ≤Х₁)=F(Х₁)-ф-ция распред. А=Х₁≤θ≤Х₂; р(А)=р(Х₁≤θ<Х₂)=F(X₂)-F(X₁);

21. Функции распределения случайных величин, плотность распределения

Свойства ф-ции распред(ФР).

1.Если СВ непрерыв, то и ФР явл-ся непрерыв.

2.Если Х₂>Х₁, то F(X₂)>F(X₁), т.е. ФР явл-ся неубывающей.

3.Если 0<р(А)<1, то 0<р(θ≤Х₁)=F(X₁)<1.

Она может быть представлена графически (рис1)

В формулах вер есть: «< >» - строгие знаки, «≤ ≥» - нестрогие знаки. Всегда ли их нужно учитывать? р(θ≤Х) = р(θ=Х) + р(θ<Х);

а) Для непрерывной СВ , доп знач принимается с нулевой Р.

След-но для непрерыв СВ знаки учитывать не надо.

б) Для дискрет СВ . След-но для дискрет СВ строгие и нестрогие знаки необходимо учитывать.

Рассм-м СВ в небольшом проиежутке: Х≤θ<(Х+ΔХ);р( Х≤θ<Х+ΔХ)=F(Х+ΔХ)-F(X)(рис2)

α – наклон секущей в точках рез-та Х, Х+ΔХ ; ;

- плотность распред.

Плотность распр хар-т закон распр. Р (рис3). А – точка перегиба.

В соотв. с формулой Ньютона-Лейбница

(*) хар-т площадь (заштрихованную) ограниченную кривой плотности распр и ординатами в точках доп знач Х₁ и Х₂.

F(+∞)=р(θ≤+∞)=1; F(–∞)=р(θ≤–∞)=0;

Т.е. площадь под кривой распред равна 1.

22. Выражение неравенств через вероятность функции распределения и плотность распределения

Рассмотрим эту связь:

а) Р(θ≤Х)=Р₁=F(X)=

б) A=x₁

в)

23. Характеристики случайной погрешности

Нам известно, что результат измерения равен:

(1) – неисправленная

Как правило, системная погрешность ( ) известна и в результате вносится абсолютная поправка , т.е. получается исправленный результат:

(2) – исправленная

Т.к. в равенствах (1) и (2) присутствует случайная погрешность, то исправленный и неисправленный результаты являются случайной величиной.

1) Координаты центра распределения

Предположим, мы имеем СВ с характеристиками - допустимые значения и вероятности появления данных допустимых значений , т.е. имеем функцию распределения.

Координаты центра распределения имеет вид:

Если рассмотреть допуст-е значения как координаты точек, расположенных вдоль некоторого стержня, а вероятности данных допустимых значений как массы грузов, подвешенных в этих точках, то координаты центра распределения будет совпадать с центром тяжести образовавшейся системы, поэтому ее называют средним взвешенным звеном или математическим ожиданием М( ).

2)Мода (М₀)

Это значение С.В. при максимальном значении плотности распределения.

X=M₀, при f(X)=f_max(X)

3) Медиана (М_е)

- это значение СВ, ордината в точке которой делит площадь под кривой плотности распределения пополам.

P(θ≤M_e) = P(θ≥M_e)

Попадание СВ слева и справа от медианы равновероятно

P(θ≤M_e) = P(θ≥M_e) = 0,5

При симметричном распределении мода, медиана и математическое ожидание совпадают: M₀ = M_e = M(θ).

4)Моменты распределения

Моменты распределения бывают начальные и центральные.

Начальные моменты характеризуют распределения неисправленных результатов.

-начальный момент

Центральные моменты распределения характеризуют распределение исправленных результатов, в которых M(X)=0.

Центральный момент S-порядка имеет вид:

т.к. ,то получим

M₃ –характеризует ассиметрию распределения

- коэффициент ассиметрии

-характеризует островершинность и плосковершинность распределения. Его характеристикой является эксцесс.

ε=Е_Х =

В ряде случаев ε бывает очень большим, поэтому в место ε вводится контрэксцесс

- контрэксцесс