7.Теоретико-множественный смысл частного целого неотрицательного числа и натурального. Определение частного через произведение. Условие существования частного.

Частным целого неотрицательного числа а и натурального числа в называется такое целое неотрицательное число с, произведение которого и числа в равна а. Для того, чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и в необходимо, чтобы в было меньше или равно а. а:в=с;  в*с=а

Между умн и дел устанавливается тесная взаимосвязь. Если а*в=с, то зная произв с и один из множ-ей, можно при помощи дел найти др множ-ль. Выясним терет-множ смысл полученных частных с:в и с:а.

а*в=с с теор-множ точки зрения представляет собой число элементов объединении в папарно непересекающихся мн-в, в каждом из кот сод а эл-ов, т.е. с=а*в=n (А1\/А2\/…\/Ав), где n(А1)=n(А2)=…=n(Ав). Так же как мн-ва А1, А2…Ав папарно не пересекаются, а при их объединении получается мн-во А, в кот с эл-ов, можно говорить о разбиении мн-ва А на равночисленные подмнож-ва А1, А2, …, Ав. Тогда частное с:а - это число подмн-в в разбиении мн-в А, а частное с:в - число эл-ов в каждом подмн-ве этого разбиения.

Мы установили, что с теорет-множ точки зрения деление связанно с разбиением конечного мн-ва на равночисленные попарно непересекающиеся подмн-ва и с его помощью решаются две зад: отыскание числа Эл-ов в каждом подмнож-ве разбиения (деление на равные части) -8 ябл. Разложили на 2 тарелки поровну. Сколько яблок на каждой тарелки?  и отыскание числа таких подм-в (деление по содержанию) - 8 яблок разложили на тарелки по2 на каждую. Сколько потребовалось тарелок?

Таким образом, если а=n (A) и мн-во А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные под-ва и если:

- в это число подмнож в разбиении множ А, то частным чисел а и в назыв число эл каждого подмнож;

- в это число элементов каждого подмножества в разбиении множества А, то частное чисел а и в называется число подмножеств в этом разбиении;

Методика ознакомления уч-ся с конкретным смыслом деления

Знакомство с действием деления начинается с решения задач с делением по содержанию.

Пример: 8 мячиков нужно раздать зверюшкам по 2 на каждого. Ск-ко зверюшек получат мячики? 

Задачи, в кот предметы раздают, делят поровну решается действием деления.

8:4 - стоит обратить внимание детей на знак. Этим действием мы узнаем ск-ко раз по 2 содержится в 8.

На 1-ом этапе задачи решаются практически, при помощи рисунка.

Задача с делением на равные части: 6 мячиков нужно раздать двум зверькам поравну. По сколько мячиков получит каждый?

Белка - о     Лиса - о 

Еще остались?

Белка - о     Лиса - о 

Еще остались?

Белка - о     Лиса - о 

Еще остались?

НЕТ

Ск-ко было мячей? (6) На ск-ко равных частей разделили? (6:2) Ск-ко будет? (6:2=3)

8. Определение частного через произведение. Невозможность деления на нуль.

1. Разделим целое неотрицательно число а на натуральное число b. Возьмем n(A) = a.

При делении а на b множество а разбивается на попарно непересекающиеся равномощные подмножества или классы. Если число b показывает количество элементов в каждом классе, то частным называется число таких классов.

Если b показывает кол-во классов, то частным называется число элементов в каждом классе. Действие, при помощи которого находят частное, называют делением.  Действия деления и умножения взаимосвязаны, что отражается в определении частного через произведение: частным целого неотрицательного числа а и натурального числа b называется такое целое неотрицательное число с, которое при умножении с b дает а.

a : b = c     a = c * b

В множестве натуральных чисел мы не всегда можем найти частное. Для того, чтобы частное натуральных чисел существовало, необходимо, чтобы a>=b.

Это условие можно переформулировать по-другому: если частное а и b существует, то  a>=b.

Если а=0, то частное 0 и любого натурального числа всегда существует и равно 0. Это можно доказать по определению частого через произведение.

0 : b = 0

0 = 0 * b - верное равенство по определению произведения.

Изучение случаев умножения и деления на 0 и 1 в начальном курсе математики.

В начальном курсе математики учащиеся знакомятся с конкретным смыслом действия деления на примере деления 2-ух типов задач: деление по содержанию и деление на равные части. Сначала учащиеся рассматривают задачи на деление по содержанию.

8 яблок разложили на тарелки по 2 на каждую. Сколько тарелок потребовалось?

Сначала задача решается практическим методом: рис. 8 яблок, разделенных дугами по 2.

Берем 2 яблока и кладем на тарелку по 2… Выясняется, что потребуется 4 тарелки. Учитель говорит, что задачи, в которых предметы раскладываются, раздаются, делятся поровну решаются действием деления.  Знак действия - :. В задаче мы узнали сколько раз по 2 яблока содержится в 8 яблоках.  Для этого мы разделим на 2 и получим 4.  8:2=4

Выражения с действием деления читают с предлогом "на".

Затем учащиеся решают задачу на деление на равные части.

8 тетрадей раздали 2 ученикам поровну. Сколько тетрадей получил каждый? Решается сначала практически. (8 квадратов поровну 2 чел.)

Берутся сначала 2 тетради и каждому раздаются по одной. Установим, что каждый ученик получим по 4 тетради.

Учитель спрашивает детей: как вы думаете, каким действием мы можем решить задачу?

8 тетрадей разделим на 2 равные части: 8 : 2 = 4

Второй вопрос:

Решение данного примера основано на методе подбора. Выполнение задания предполагают рассуждения: на какое число нужно умножить 17, чтобы получить 51. это число 3, т.к. 17 * 3 = 51

17 * 3 = (10 + 7) * 3 = 10 * 3 + 7 * 3 = 30 + 21 = 51 Метод побора основан на определении частного через произведение.