![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Матрицы и операции над ними.
- •Определители.
- •Ранг матрицы
- •Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Теорема Кронекера-Капелли
- •Формулы Крамера
- •Векторы, операции над ними.
- •Смешанное произведение векторов
- •Прямая на плоскости.
- •Кривые 2-го порядка.
- •Окружность.
- •Эллипс.
- •Гипербола.
- •Парабола
- •Уравнение плоскости.
- •Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •Функция. Действительные числа. Предел функции. Односторонние пределы функции.
- •Основные теоремы о пределах.
- •Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Широко используются следующие два предела
- •Непрерывность функции. Классификация точек разрыва функции.
- •Производная. Правила и формулы дифференцирования.
- •Производные высших порядков. Дифференциалы первого и высших порядков и их приложения.
- •Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя. Приложения производной и исследование функции.
- •Исследование поведения функции и построение их графиков.
- •Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Интегрирование рациональных функций.
- •Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.
- •Определенный интеграл. Условия существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
- •Проведя в точках деления a,b прямые, параллельные оси ординат, разобьем криволинейную трапецию на n частичных трапеций. В каждом частичном интервале возьмем точки 1,2,…,т, так что
- •Оценка интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Приложения определенного интеграла.
- •Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных.
- •Лекции 57-60. Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения I порядка.
- •Случайные события. Определение вероятности.
- •Вероятность достоверного события равна единице.
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Формула Бернулли. Предельные теоремы.
- •Случайные величины и их числовые характеристики.
- •Список рекомендуемой литературы Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •Планы проведения семинарских занятий.
- •Тема 1: Элементы линейной алгебры.
- •Тема 2: Элементы векторной алгебры.
- •Тема 3: Аналитическая геометрия
- •Тема 4: Функция. Предел функции.
- •Тема 5: Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •Тема 6: Дифференциальное исчисление функции многих переменных
- •Тема 7: Интегральное исчисление.
- •Материалы для самостоятельной работы студента под руководством преподавателя (срсп)
- •Тема: «Предел функций».
- •Материалы по контролю и оценке учебных достижений студентов.
- •Тестовые задания для самоконтроля
- •Экзаменационные вопросы по курсу
Производная. Правила и формулы дифференцирования.
Напомним,
что приращением
функции у=f(х)
называется разность
,
где
- приращение аргумента х.
Из
рисунка видно, что
(1).
Предел
отношения приращения функции
к
приращению аргумента
при
произвольном стремлении
к
нулю
называется производной
функции
у=f(х)
в
точке
х
и
обозначается одним из следующих символов:
у',
f'(х),
.
Рис. 1.
Таким образом, по определению
(2)
Если указанный в формуле (2) предел существует, то функцию f(х) называют дифференцируемой в точке х, а операцию нахождения производной у' – дифференцированием.
Из
равенства (1) и определения производной,
(см. формулу (2))
следует, что производная в точке х
равна
тангенсу угла
наклона
касательной, проведенной в точке М(х,
у),
к графику функции у=f(х)
(см. рис. 1).
Легко показать, что с физической точки зрения производная у'=f'(х) определяет скорость изменения функции в точке х относительно аргумента х.
Если С — постоянное число и и=и(х), v=v(x) – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
1) (С)'=0;
2) (х)'.=1;
3)
(и
v)'=и'
v';
4) (С и)'=С и'
5) (и v)'=и' v+иv';
6)
;
7)
;
8) если у=f(и) и u= (х), т. Е. y=f( (x)) – сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то
или
;
9)
если для функции у=f(х)
существует обратная дифференцируемая
функция х=g(у)
и
,
то f'(х)
=
.
На основании определения производной и правил дифференцирования можно составить таблицу производных основных элементарных функций:
1)
|
2)
( |
3) (еu)'=еu u' |
4)
|
5)
|
6) (sin u)’= соs u u’ |
7) (соs u)’=-sin u u’ |
8)
|
9)
|
10)
(arcsin u)'= |
11)
|
12)
|
13)
|
|
Уравнение касательной к кривой у=f(х) в точке Мо(х0; f(х0))
Уравнение нормали к кривой у=f(х) в точке Мо(х0; f(х0)):
При f/(х0)=0 уравнение нормали имеет вид х=х0.
Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым в этой точке.
Логарифмической производной функции у=f(х) называется производная от логарифма этой функции, т. Е.
(ln f(x))’=f’(x)/f(x).
Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием. В некоторых случаях предварительное логарифмирование функции упрощает нахождение ее производной. Например, при нахождении производной функции у=иv, где и=u(х), v=v(х), предварительное логарифмирование приводит к формуле
у =иv ln и v' + v и v-1 и'.
Если
зависимость между переменными у
и х
задана в
неявном виде уравнением F(х,
у)=0,
то для нахождения производной у'=
в
простейших случаях достаточно
продифференцировать обе части уравнения
F(х,
у)=0,
считая у
функцией
от х,
и
из полученного уравнения,
линейного относительно у',
найти
производную.