§5. Переход к полярным координатам. Вычисление

Пусть требуется вычислить по области , которая задаётся в полярных координатах условиями

Сделаем замену переменных

При этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке (0,0) соответствует целый отрезок на оси . Однако и точка, и отрезок имеет нулевую площадь, и теорема, с учётом замечания, справедлива. Осталось вычислить якобиан преобразования.

Следовательно,

.

Полярные координаты бывают очень полезны при вычислениях. Рассмотрим пример.

Пример. Найти .

Решение. — это несобственный интеграл, и прежде всего следует установить его сходимость. По определению,

.

Первый из интегралов — собственный, второй — сходится по 1-й теореме о сравнении, так как при справедливо неравенство_,из которого следует, что , а интеграл , очевидно, сходится.

Обозначим (очевидно, ). Тогда, поскольку обозначение переменной интегрирования можно выбрать произвольным, т.е.

,

имеем

,

где — квадрат, а — четверти круга, соответственно, радиусов и . Так как , то по свойствам 2 , 3 двойного интеграла

.

В интеграле перейдем к полярным координатам:

.

Аналогично,

и .

При стремлении к получаем, что

, то есть .

Глава 2. Тройные интегралы

Рассмотрим кубируемое множество . Считаем, что оно ограничено конечным числом кусочно-гладких поверхностей . Разбиение на части также осуществляется кусочно- гладкими поверхностями. Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному случаю. Также, по аналогии, можно определить для функции , разбиения множества на части и для выбранных точек интегральную сумму

,

где обозначает объем части .

Определение. Пусть такое число, что .

Тогда мы говорим, что функция интегрируема на множестве , число есть интеграл функции по множеству и обозначаем это так: .

Как и в случае двойного интеграла, выполняются свойства 1-6. Полезное упражнение - переформулировать их для тройного интеграла .

Теорема 2.1. Ограниченная на кубируемом множестве функция интегрируема тогда и только тогда, когда

(На экзамене ограничиваемся формулировкой).

Из этого критерия следует теорема.

Теорема 2.2. Если функция непрерывна на кубируемом множестве , то интегрируема на этом множестве.

(На экзамене достаточно формулировки).

Точно также можно убедиться в том, что если точки разрыва лежат на конечном числе кусочно-гладких поверхностей, лежащих на и разбивающих на кубируемые области, то интегрируема на .

Вычисление тройного интеграла производится по следующему правилу.

Теорема 2.3. Пусть задана следующими неравенствами:

,

где — квадрируемая область на плоскости, непрерывные функции. Тогда

.

Замечание. Если область задана неравенствами , где — непрерывные функции, то

Сформулируем общую теорему о замене переменных.

Теорема 2.4. Пусть отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между областями и , причем функции — непрерывно дифференцируемые и ни в одной точке .Пусть всюду в области

Пусть — непрерывная функция. Тогда

.

Как и для двойного интеграла, теорема остается верной в случае нарушения ее условий на множестве нулевого объема.

Пример 1. Переход к цилиндрическим координатам. Он осуществляется с помощью функций: .

При этом якобиан равен

.

Пример 2. Переход к сферическим координатам осуществляется функциями .

Якобиан преобразования равен

(разложение определителя по 3-й строке)

(выделение общих множителей у столбцов)

.

Часто используется интеграл (вы встретите его при вычислении двойных, тройных интегралов при переходе к сферическим или цилиндрическим координатам)

Сведем его к значениям эйлеровых интегралов см. приложение 3:

|=