Общая формула Стокса

Будем называть кривую, поверхность или объем в одним словом – поверхность – соответственно размерности 1, 2 или 3. Тогда граница поверхности размерности имеет размерность .

Теорема П1.1. Пусть – гладкая ориентированная поверхность размерности ( ) и – гладкая граница , ориентация которой согласована с ориентацией поверхности ; – дифференциальная форма степени . Тогда имеет место формула

.

Замечание. Эта теорема есть многомерное обобщение теоремы Стокса.

Следствие П.1.1. Теорема Грина.

.

Следствие П.1.2. Теорема Стокса.

Следствие П.1.3. Теорема Остроградского-Гаусса.

.

С доказательством общей формулы Стокса можно ознакомиться, например, в книге [3].

Список литературы.

1. Ефимов Н.В. Внешние дифференциальные формы в Евклидовом пространстве. Изд-во МГУ, 1971.

2. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. М.: Мир, 1972.

3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. УРСС, 2001.

Приложение 2.

Собственные интегралы, зависящие от параметра

1. Предельный переход под знаком интеграла

Пусть функция определена на прямоугольнике , заданном неравенствами: , .

Пусть для любого функция интегрируема по (по Риману).

Определение П2.1. Интеграл называется собственным интегралом, зависящим от параметра , а отрезок называется множеством значений параметра .

Это определение можно расширить, рассматривая вместо отрезка любое подмножество вещественной оси , например, интервал, полуинтервал, луч, всю , проколотую окрестность точки и т.д.

Теорема П.2.1. Пусть непрерывна на прямоугольнике . Тогда непрерывна на отрезке .

Прямоугольник - замкнут и ограничен, поэтому является компактом. По теореме Кантора, функция , непрерывная на , равномерно непрерывна на . Поэтому для любого существует , такая, что для любых точек таких, что , выполняется неравенство:

.

Пусть ; для любого и любого .

Тогда .

Следовательно, при имеем: , т.е. .

Так как - произвольная точка , теорема доказана.

Обобщим доказанную теорему.

Теорема П.2.2. Пусть , непрерывны на отрезке и удовлетворяют неравенствам .

Тогда - непрерывная на функция.

Прежде всего, отметим, что можно рассматривать, как интеграл от параметра, определённый для функции

Рассмотрим

Поэтому при выполнено неравенство что означает, что при

Доказанные теоремы допускают равносильную переформулировку:

.

Введём важное для дальнейшего определение:

Определение П.2.2. Семейство функций ( - параметр семейства, ) равномерно стремится к предельной функции при , если для всех .

*Часто добавляют: равномерно относительно х(или по х).

Теорема П.2.3. Если при фиксированном непрерывна по , и при стремится к предельной функции равномерно (относительно ), то

при , что и требовалось.

Пример П.2.1. Найти

( - непрерывна)

.

Пример П.2.2.

( , , непрерывны)

.

Приложение 3.

Дифференцирование под знаком собственного интеграла. Правило Лейбница. Случай, когда пределы интегрирования зависят от y.

Теорема П.3.1. (Правило Лейбница). Пусть непрерывны на . Тогда дифференцируема на , причём

(В концах отрезка производные односторонние)

Пусть , , . Тогда

Подынтегральная функция непрерывна по , значит, интегрируема. По теореме Лагранжа получаем:

,

По условию, и, значит, равномерно непрерывна на ; поэтому для любого существует такое, что из неравенств , следует, что

При , , получаем, что если , то для любого

,

откуда

и

Теорема П.3.2. В условиях предыдущей теоремы пусть , , где , дифференцируемы на . Тогда

(обозначим , , )

Дословно повторяя рассуждения предыдущей теоремы, получим, что при

Далее, по теореме о среднем, ввиду непрерывности

( )

При получаем

Пример П.3.1.

Приложение 4.

Интегрирование под знаком собственного интеграла

Теорема П.4.1. Пусть . Тогда существуют и равны интегралы

Обозначим первый из этих интегралов , второй - .

Положим , , .

Докажем, что эта функция непрерывна по совокупности переменных.

Оба слагаемых стремятся к 0( первое- ввиду непрерывности ,второе – по теореме о среднем для определённого интеграла) при . Кроме того,

по свойству интеграла с переменным верхним пределом, поэтому для

имеем, по правилу Лейбница,

(это обозначение).

Но для , по теореме Ньютона-Лейбница имеем:

где

Итак, ,

_{выполнено равенство}

. При получаем теорему.

Приложение 5.

Эйлеровы интегралы