18. Группоид. Квазигруппа. Латинский квадрат. Лупа. Полугруппа. Моноид. Группа. Абелева группа.
Группоид, обозначаемый символом (A, ·) — множество A, на котором задана некоторая бинарная операция, обозначаемая ·. Если множество группоида конечно, то есть ½A½ = card (A) = n, то таблица Кэли операции группоида есть таблица n ´ n, в которой элемент x · y Î A находится в клетке пересечения строки x и столбца y. Конечный группоид можно считать заданным, если выписана его таблица Кэли.
Квазигруппа (от латинского слова quasi — как будто, почти и слова группа) — группоид, бинарная операция которого (например, ·) такова, что каждое из уравнений a · x = b, y · a = b имеет единственное решение для любых элементов a, b этого множества.
Лупа, или квазигруппа с единицей, определение которой получается из аксиом группы отбрасыванием требования ассоциативности, особенно близка к группе.
Группа (нем. Gruppe) — одно из основных понятий современной математики — есть лупа, являющаяся в то же время полугруппой.
Пусть G — произвольное непустое множество, на котором задана бинарная алгебраическая операция ° , т.е. для любых двух элементов a и b из G определен некоторый элемент (обозначаемый, например, a ° b) также из G.
Если при этом выполняются условия:
1) (a ° b) ° c = a ° (b ° c) для любых a, b и c из G;
2) в G существует такой элемент e (называемый единицей, иногда — нейтральным элементом), что a ° e = e ° a = a для любого a из G;
3) для любого a из G существует такой элемент a –1 (обратный к a элемент), что a ° a –1 = a –1 ° a = e,
то множество G с заданной на нем операцией ° назовем группой.
Абелева группа есть группа (A, ·), в которой для любых двух элементов a , b Î A имеет место a · b = b · a .
Очередность образования вышеперечисленных понятий наглядно представлена в виде направленного графа. Буквы, приписанные точкам графа, означают: G - группоид, K - квазигруппа, F - полугруппа, C - группа, A - абелева группа
19. Группа симметрий фигуры.
Сопряженные элементы группы. Два элемента a и b группы G называются сопряженными, если существует такой элемент g , что a g = g b, т.е. если g-1 a g = b. Говорят также, что a получается трансформацией элемента b элементом g . Если g-1 a g = a, то элемент a называется инвариантным относительно трансформации элементом g.
Сопряженная подгруппа. Если для подгрупп A и B группы G найдется такой элемент g G, что A g = g B, т.е. g-1 A g = B, то подгруппа B называется сопряженной подгруппе A в G. Говорят также, что подгруппа B получается трансформацией подгруппы A элементом g. Если g-1 A g = A, то подгруппа A называется инвариантной относительно трансформации элементом g. Поскольку нормальный делитель группы инвариантен относительно трансформации любым ее элементом, то его называют также инвариантной подгруппой группы.
Покажем сейчас на примере, как понятия теории групп позволяют сжато выражать некоторые геометрические факты. Чертеж слева (где P — фиксированная точка, t — фиксированная прямая, X — переменная точка, пробегающая множество всех точек плоскости) приводит нас к следующей теореме. Результат последовательного отражения точки X относительно прямой t, полученного образа относительно точки P и этого нового образа опять относительно прямой t совпадает с результатом отражения точки X относительно точки P, симметричной точке P относительно прямой t. Сформулируем этот факт в терминах группы движений плоскости. Отражение относительно точки P обозначим через . Очевидно, 2 = 1, т.е. = -1. Аналогично, обозначив отражение относительно прямой t через , получаем, что 2 = 1, откуда -1 = . Теперь наше геометрическое утверждение о трех последовательных отражениях может быть выражено следующей формулой: = -1 . Чертеж справа показывает, что три последовательных отражения — относительно точки P, затем прямой t и, наконец, снова точки P — равносильны отражению относительно прямой t , симметричной прямой t относительно точки P. Это можно выразить формулой: = -1.
t t t
X 
P P
X 
Кроме того, легко проверить, что условие принадлежности точки P прямой t равносильно условию = . Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что в первом случае условие -1 = означает совпадение точек P и P, тогда как во втором случае условие -1 = означает совпадение прямых t и t.
Преимущества языка теории групп становятся особенно убедительными, если выраженные на этом языке геометрические понятия и отношения попытаться выразить также средствами аналитической геометрии. Например:
.