- •2. Операции над множествами. Круги Эйлера. Покрытия и разбиения. Классы разбиения.
- •3. Законы алгебры множеств. Формула включений и исключений.
- •5. Соответствия. Способы задания соответствий.
- •6. Инволюция (обращение) соответствий. Объединение, пересечение, дополнение, произведение соответствий.
- •7. Функциональные соответствия, их связь с графиками функций.
- •8. Соответствие Галуа и его роль в проективном распознавании образов. Замкнутое подмножество.
- •9. Отношение. Бинарное отношение. Рефлексивное, симметричное, антисимметричное, асимметричное, транзитивное отношения.
- •Унарные:
- •Бинарные:
- •Соответствия a, b, r
- •10. Отношение эквивалентности. Фактор-множество множества по отношению.
- •11. Отношение предпорядка, упорядоченности, строгой упорядоченности. Отношение частичного порядка.
- •12. Замыкание отношений. Рефлексивное, симметричное, транзитивное замыкание отношений.
- •13. Понятие нечеткого множества. Функция принадлежности. Способы формализации нечетких множеств. Наиболее распространенные параметрические функции принадлежности.
- •14. Основные логические операции над нечеткими множествами и их свойства.
- •15. Диаграмма Хассе как способ задания отношения частичного порядка на множестве.
- •16. Отображения. Изоморфизм. Автоморфизм. Гомоморфизм. Эпиморфизм. Эндоморфизм. Мономорфизм. Биморфизм.
- •17. Бинарная операция и ее основное множество. Способы задания бинарной операции. Таблица Кэли. Операционный квадрат таблицы Кэли.
- •18. Группоид. Квазигруппа. Латинский квадрат. Лупа. Полугруппа. Моноид. Группа. Абелева группа.
- •19. Группа симметрий фигуры.
- •20. Группа подстановок.
- •21. Иерархия систем с двумя бинарными операциями. Кольцо. Тело. Поле (коммутативное тело). Поле Галуа.
- •22. Решетка (структура). Решетка как частично упорядоченное множество.
- •23. Решетка как универсальная алгебра.
- •Графы и ориентированные графы
- •27. Виды графов: двудольные графы, регулярные графы, полные графы, деревья, планарные графы
- •28. Изоморфизм графов.
- •29. Способы задания графов.
- •32. Эйлеров путь в графе. Задача о кенигсбергских мостах. Эйлеров цикл. Теорема о существовании эйлерова цикла.
- •33. Алгоритм нахождения эйлерова цикла и его вычислительная сложность.
- •34. Гамильтонов цикл в графе. Алгоритм с возвратом для поиска гамильтонова пути. Оценки вычислительной сложности алгоритма.
- •35. Задача коммивояжера. Алгоритм поиска субоптимального решения.
- •36. Задача построения минимального остовного дерева. Алгоритм Краскала. Алгоритм Прима. Оценка вычислительной сложности этих алгоритмов.
- •37. Перенумерация вершин графа. Алгоритм топологической сортировки.
- •39. Принцип оптимальности Беллмана. Алгоритм нахождения кратчайшего пути в ориентированном графе и его вычислительная сложность.
- •1 Begin
- •40. Алгоритм вычисления расстояний между всеми парами вершин графа. Общий случай.
- •41. Алгоритм нахождения расстояния от источника до всех остальных вершин в графе с неотрицательными весами дуг — метод Дейкстры. Оценка вычислительной сложности.
- •1 Begin
- •5 Begin
- •42. Алгоритм топологической сортировки. Алгоритм нахождения расстояния от источника до всех остальных вершин в графе в случае бесконтурного графа. Оценка вычислительной сложности
- •43. Знаковые графы и их практическое применение. Задачи из области социологии малых групп, экономики и политики.
- •44. Теорема о структуре (теорема Харари о балансе).
- •45. Знаковые орграфы как модель когнитивных карт. Контуры положительной и отрицательной обратной связи и устойчивость/изменчивость моделей на орграфах.
- •46. Двудольные графы. Необходимое и достаточное условие двудольности графа.
- •47. Сети Петри. Функционирование сети Петри. Конечные разметки сети.
- •Иллюстрация к правилу срабатывания перехода
- •48. Сети Петри. Ограниченность, безопасность, сохраняемость, достижимость, живость. Моделирование на сетях Петри.
- •50. Конечный автомат как математическая модель устройства с конечной памятью и как управляющая система. Способы описания конечных автоматов: перечислительный; диаграмма состояний; таблица состояний.
- •51. Алгебра логики. Функции алгебры логики. Существенные и несущественные переменные. Бинарные логические операции. Формула. Суперпозиция функций. Таблицы истинности и таблицы Кэли.
- •52. Формы записи операций (функций) — инфиксная, префиксная, постфиксная. Эквивалентные формулы.
- •53. Основные схемы логически правильных рассуждений.
- •54. Функционально полные системы (базисы). Булева алгебра логики. Функциональная полнота системы булевых функций. Примеры других алгебр логики.
- •55. Основные эквивалентные соотношения в булевой алгебре. Выражение через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание других логических бинарных операций. Двойственность.
- •56. Булева алгебра логики. Сднф и днф. Карта Карно. Функциональные схемы как приложение булевых функций.
- •57. Функции k-значной логики и их задание с помощью таблицы истинности и с помощью таблицы Кэли. Примеры k-значных логик.
- •59. Квантор всеобщности и квантор существования.
- •61. Истинные формулы и эквивалентные соотношения логики предикатов.
- •62. Префиксная нормальная форма. Процедура получения пнф.
- •63. Формальные теории. Принципы построения формальной теории.
- •64. Исчисление высказываний.
43. Знаковые графы и их практическое применение. Задачи из области социологии малых групп, экономики и политики.
Взвешенный граф, взвешенный орграф — граф (орграф), каждому ребру которого приписан некоторый вес.
Знаковый граф, знаковый орграф — граф (орграф), каждому ребру которого приписан некоторый знак.
Знак пути, цепи, замкнутого пути, замкнутой цепи, контура, цикла и т.д. определяется как произведение знаков входящих в них дуг или ребер, если знак плюс заменить на +1, а знак минус на –1. Очевидно, что путь, цепь и т.д. имеют знак минус, если число дуг или ребер, содержащихся в них, нечетно, иначе они имеют знак плюс.
Хейдер изучал задачи из области социологии малых групп людей (Heider F. Attitudes and Cognitive Organization. – J. of Phych., 21, 1946, p. 107-112).
Его результаты — полный обзор вариантов знаковых графов для группы из трех человек в условиях явно выраженной симпатии / антипатии представлены на рисунках.
IV
Процедура математического моделирования
Математическая модель баланса
Анализ результатов Хейдера и огромного количества других примеров из самых разных областей человеческой деятельности привел Картрайта и Харари (Cartwright D. and Harary F. Structural Balance: A Generalization of Heider’s Theory. – Psych. Rev., 63, 1956, p. 277-293) к следующей математической модели баланса:
Малая группа является сбалансированной, если представляющий ее знаковый граф сбалансирован.
Знаковый граф называется сбалансированным, если каждый цикл в нем положителен.
Слабые места:
Предположение о симметрии «симпатий»
Игнорируется «сила» симпатий
Не разделяются типы несбалансированности
Нет градаций степени сбалансированности
Интерпретация в области политики
Для пункта d существует интерпретация и в области политики – устойчивым является представительный орган, основанный на одно- или двухпартийной основе (внутри фракции существуют отношения «симпатии», а соответствующие отношения между представителями разных фракций отрицательны). Кемени и Снелл высказали предположение, что многопартийный французский парламент 1950-х годов был несбалансирован именно по причине несоответствия критерию баланса по Харари (Kemeny J.G., Snell J.L. Mathematical Models in the Social Sciences. – New York: Blaisdell Publishing Co., 1962; reprinted by M.I.T. Press, Cambridge, Mass, 1972).
44. Теорема о структуре (теорема Харари о балансе).
Для знакового графа G=(V,E) следующие утверждения эквивалентны:
Граф G сбалансирован.
Каждая замкнутая цепь в G положительна.
Любые две цепи между любыми двумя вершинами ui и uj имеют одинаковый знак.
Множество вершин V можно разбить на два подмножества A и B так, что каждое положительное ребро соединяет вершины одного подмножества и каждое отрицательное соединяет вершины различных подмножеств.
Последнее утверждение называют также критерием баланса.