- •2. Операции над множествами. Круги Эйлера. Покрытия и разбиения. Классы разбиения.
- •3. Законы алгебры множеств. Формула включений и исключений.
- •5. Соответствия. Способы задания соответствий.
- •6. Инволюция (обращение) соответствий. Объединение, пересечение, дополнение, произведение соответствий.
- •7. Функциональные соответствия, их связь с графиками функций.
- •8. Соответствие Галуа и его роль в проективном распознавании образов. Замкнутое подмножество.
- •9. Отношение. Бинарное отношение. Рефлексивное, симметричное, антисимметричное, асимметричное, транзитивное отношения.
- •Унарные:
- •Бинарные:
- •Соответствия a, b, r
- •10. Отношение эквивалентности. Фактор-множество множества по отношению.
- •11. Отношение предпорядка, упорядоченности, строгой упорядоченности. Отношение частичного порядка.
- •12. Замыкание отношений. Рефлексивное, симметричное, транзитивное замыкание отношений.
- •13. Понятие нечеткого множества. Функция принадлежности. Способы формализации нечетких множеств. Наиболее распространенные параметрические функции принадлежности.
- •14. Основные логические операции над нечеткими множествами и их свойства.
- •15. Диаграмма Хассе как способ задания отношения частичного порядка на множестве.
- •16. Отображения. Изоморфизм. Автоморфизм. Гомоморфизм. Эпиморфизм. Эндоморфизм. Мономорфизм. Биморфизм.
- •17. Бинарная операция и ее основное множество. Способы задания бинарной операции. Таблица Кэли. Операционный квадрат таблицы Кэли.
- •18. Группоид. Квазигруппа. Латинский квадрат. Лупа. Полугруппа. Моноид. Группа. Абелева группа.
- •19. Группа симметрий фигуры.
- •20. Группа подстановок.
- •21. Иерархия систем с двумя бинарными операциями. Кольцо. Тело. Поле (коммутативное тело). Поле Галуа.
- •22. Решетка (структура). Решетка как частично упорядоченное множество.
- •23. Решетка как универсальная алгебра.
- •Графы и ориентированные графы
- •27. Виды графов: двудольные графы, регулярные графы, полные графы, деревья, планарные графы
- •28. Изоморфизм графов.
- •29. Способы задания графов.
- •32. Эйлеров путь в графе. Задача о кенигсбергских мостах. Эйлеров цикл. Теорема о существовании эйлерова цикла.
- •33. Алгоритм нахождения эйлерова цикла и его вычислительная сложность.
- •34. Гамильтонов цикл в графе. Алгоритм с возвратом для поиска гамильтонова пути. Оценки вычислительной сложности алгоритма.
- •35. Задача коммивояжера. Алгоритм поиска субоптимального решения.
- •36. Задача построения минимального остовного дерева. Алгоритм Краскала. Алгоритм Прима. Оценка вычислительной сложности этих алгоритмов.
- •37. Перенумерация вершин графа. Алгоритм топологической сортировки.
- •39. Принцип оптимальности Беллмана. Алгоритм нахождения кратчайшего пути в ориентированном графе и его вычислительная сложность.
- •1 Begin
- •40. Алгоритм вычисления расстояний между всеми парами вершин графа. Общий случай.
- •41. Алгоритм нахождения расстояния от источника до всех остальных вершин в графе с неотрицательными весами дуг — метод Дейкстры. Оценка вычислительной сложности.
- •1 Begin
- •5 Begin
- •42. Алгоритм топологической сортировки. Алгоритм нахождения расстояния от источника до всех остальных вершин в графе в случае бесконтурного графа. Оценка вычислительной сложности
- •43. Знаковые графы и их практическое применение. Задачи из области социологии малых групп, экономики и политики.
- •44. Теорема о структуре (теорема Харари о балансе).
- •45. Знаковые орграфы как модель когнитивных карт. Контуры положительной и отрицательной обратной связи и устойчивость/изменчивость моделей на орграфах.
- •46. Двудольные графы. Необходимое и достаточное условие двудольности графа.
- •47. Сети Петри. Функционирование сети Петри. Конечные разметки сети.
- •Иллюстрация к правилу срабатывания перехода
- •48. Сети Петри. Ограниченность, безопасность, сохраняемость, достижимость, живость. Моделирование на сетях Петри.
- •50. Конечный автомат как математическая модель устройства с конечной памятью и как управляющая система. Способы описания конечных автоматов: перечислительный; диаграмма состояний; таблица состояний.
- •51. Алгебра логики. Функции алгебры логики. Существенные и несущественные переменные. Бинарные логические операции. Формула. Суперпозиция функций. Таблицы истинности и таблицы Кэли.
- •52. Формы записи операций (функций) — инфиксная, префиксная, постфиксная. Эквивалентные формулы.
- •53. Основные схемы логически правильных рассуждений.
- •54. Функционально полные системы (базисы). Булева алгебра логики. Функциональная полнота системы булевых функций. Примеры других алгебр логики.
- •55. Основные эквивалентные соотношения в булевой алгебре. Выражение через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание других логических бинарных операций. Двойственность.
- •56. Булева алгебра логики. Сднф и днф. Карта Карно. Функциональные схемы как приложение булевых функций.
- •57. Функции k-значной логики и их задание с помощью таблицы истинности и с помощью таблицы Кэли. Примеры k-значных логик.
- •59. Квантор всеобщности и квантор существования.
- •61. Истинные формулы и эквивалентные соотношения логики предикатов.
- •62. Префиксная нормальная форма. Процедура получения пнф.
- •63. Формальные теории. Принципы построения формальной теории.
- •64. Исчисление высказываний.
61. Истинные формулы и эквивалентные соотношения логики предикатов.
Обычно классическое исчисление предикатов строится на основе того или иного варианта исчисления высказываний: аксиомы классического исчисления высказываний считаются схемами аксиом исчисления предикатов, то есть любая предикатная формула, полученная из некоторой аксиомы исчисления высказываний подстановкой в нее каких-либо предикатных формул вместо пропозициональных переменных, объявляется аксиомой исчисления предикатов. Например, из аксиомы исчисления высказываний таким образом получается аксиома исчисления предикатов
.
К этим аксиомам добавляются две новые схемы аксиом:
и ,
где (x) — произвольная предикатная формула, в которой переменная x не находится в области действия кванторов y и y, а формула (y) получена заменой в (x) каждого свободного вхождения переменной x на y.
Правилами вывода исчисления предикатов являются правило модус поненс и следующие два правила:
— -правило, позволяющее из формулы ( получить формулу ( x , где и — произвольные предикатные формулы, причем не содержит свободную переменную x;
— -правило, позволяющее при тех же предположениях относительно формул , и переменной x перейти от формулы ( к формуле (x .
Правило модус поненс (правило отделения, правило вывода в формальной логике) означает, что из истинности формулы A (малая посылка) и A B (большая посылка) следует истинность B.
Выводом формулы в исчислении предикатов называется конечная последовательность формул 1, . . ., m такая, что каждая из формул i либо есть аксиома, либо получается из некоторых предшествующих ей формул по одному из перечисленных правил вывода, и m совпадает с . Формула выводима в исчислении предикатов, или является теоремой, если можно построить вывод этой формулы. Согласно теореме Геделя о полноте, все общезначимые предикатные формулы и только они выводимы в классическом исчислении предикатов.
Дедуктивный аппарат исчисления предикатов, то есть система аксиом и правила вывода, используются при построении логико-математических исчислений (например, формальной арифметики, аксиоматической теории множеств).
62. Префиксная нормальная форма. Процедура получения пнф.
Префиксной нормальной формой (ПНФ) называется формула, имеющая вид
Q1x1, Q2x2, …, QnxnF — кванторы; F — формула, не имеющая кванторов, с операциями {&, Ú, Ø}. В логике предикатов для любой формулы существует эквивалентная ей префиксная нормальная форма
Процедура получения ПНФ:
1) Используя формулы
P1 ~ P2 = (P1 ® P2) & (P2 ® P1),
P1 ® P2 = Ø P1 Ú P2
заменить ®, ~ на &, Ú, Ø.
2) Спустить символы отрицания непосредственно на символы предикатов
3) Для формул, содержащих подформулы вида
"xP1(x) Ú "xP2(x), $xP1(x) Ú $xP2(x),
ввести новые переменные, позволяющие использовать эквивалентные соотношения
4) С помощью эквивалентных соотношений получить формулы в виде ПНФ
63. Формальные теории. Принципы построения формальной теории.
Алфавит и слова
Алфавит A — конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т.д.).
Элементы An называют словами длины n в алфавите A
Множество всех слов в алфавите A — это множество
Формальные системы — это системы операций над объектами, понимаемыми как последовательности символов (т.е. как слова в фиксированных алфавитах); сами операции также являются операциями над символами.
«Формальный» = объекты и операции рассматриваются чисто формально, без каких бы то ни было содержательных интерпретаций символов.
Между символами не существует никаких связей и отношений, кроме тех, которые явно описаны средствами самой формальной системы.
Принципы построения формальной теории
Всякая точная теория определяется:
языком, т.е. некоторым множеством высказываний, имеющих смысл с точки зрения этой теории,
совокупностью теорем — подмножеством языка, состоящим из высказываний, истинных в данной теории.
Аксиоматическая (формальная) теория T считается определенной, если выполнены следующие условия:
1) задано некоторое счетное множество символов — алфавит теории T. Конечные последовательности символов теории называются выражениями теории T;
2) определяется подмножество правильно построенных выражений теории T, называемых формулами теории T — язык теории. Это подмножество задается конструктивными средствами (как правило, индуктивным определением);
3) выделяется некоторое множество формул, называемых аксиомами теории T;
4) задается конечное множество R1, R2, ..., Rn отношений между формулами, называемых правилами вывода. Правило вывода R(F1, …, Fn, G) — это вычислимое отношение на множестве формул. Если формулы F1, …, Fn, G находятся в отношении R, то формула G называется непосредственно выводимой из F1, …, Fn по правилу R. формулы F1, …, Fn, называются посылками правила R, а G — его следствием или заключением.
Вывод в T
Выводом в T формулы B из формул A1, …, An, называется всякая последовательность F1, F2, ..., Fm формул такая, что Fm = B, а для любого i формула Fi есть либо аксиома теории T, либо одна из исходных формул A1, …, An, либо непосредственно выводима из формул F1, …, Fi-1 (или какого-то их подмножества) по одному из правил вывода.
Если существует вывод B из A1, …, An, то говорят, что B выводима из A1, …, An. Этот факт обозначается A1, …, An |— B.
Формулы A1, …, An называются гипотезами или посылками вывода.
Переход в выводе от Fi-1 к Fi называется i-м шагом вывода.
Разрешимость
В общем случае может не существовать эффективной процедуры, с помощью которой можно определить по данной формуле, существует ли ее вывод в теории T.
Формула, для которой такая процедура существует, называется разрешимой в этой теории, в противном случае — неразрешимой. Иначе говоря, для неразрешимых формул нельзя построить алгоритм выяснения свойства формулы быть теоремой, для этого требуются все новые и новые озарения (изобретательства), не поддающиеся формализации.
Доказательство
Доказательством формулы B в теории T называется вывод B из пустого множества формул, т.е. вывод, в котором в качестве исходных формул используются только аксиомы.
Формула B, для которой существует доказательство, называется формулой, доказуемой в теории T, или теоремой теории T. Факт доказуемости B обозначается |— B.
Очевидно, что присоединение формул к гипотезам не нарушает выводимости.