![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •2. Операции над множествами. Круги Эйлера. Покрытия и разбиения. Классы разбиения.
- •3. Законы алгебры множеств. Формула включений и исключений.
- •5. Соответствия. Способы задания соответствий.
- •6. Инволюция (обращение) соответствий. Объединение, пересечение, дополнение, произведение соответствий.
- •7. Функциональные соответствия, их связь с графиками функций.
- •8. Соответствие Галуа и его роль в проективном распознавании образов. Замкнутое подмножество.
- •9. Отношение. Бинарное отношение. Рефлексивное, симметричное, антисимметричное, асимметричное, транзитивное отношения.
- •Унарные:
- •Бинарные:
- •Соответствия a, b, r
- •10. Отношение эквивалентности. Фактор-множество множества по отношению.
- •11. Отношение предпорядка, упорядоченности, строгой упорядоченности. Отношение частичного порядка.
- •12. Замыкание отношений. Рефлексивное, симметричное, транзитивное замыкание отношений.
- •13. Понятие нечеткого множества. Функция принадлежности. Способы формализации нечетких множеств. Наиболее распространенные параметрические функции принадлежности.
- •14. Основные логические операции над нечеткими множествами и их свойства.
- •15. Диаграмма Хассе как способ задания отношения частичного порядка на множестве.
- •16. Отображения. Изоморфизм. Автоморфизм. Гомоморфизм. Эпиморфизм. Эндоморфизм. Мономорфизм. Биморфизм.
- •17. Бинарная операция и ее основное множество. Способы задания бинарной операции. Таблица Кэли. Операционный квадрат таблицы Кэли.
- •18. Группоид. Квазигруппа. Латинский квадрат. Лупа. Полугруппа. Моноид. Группа. Абелева группа.
- •19. Группа симметрий фигуры.
- •20. Группа подстановок.
- •21. Иерархия систем с двумя бинарными операциями. Кольцо. Тело. Поле (коммутативное тело). Поле Галуа.
- •22. Решетка (структура). Решетка как частично упорядоченное множество.
- •23. Решетка как универсальная алгебра.
- •Графы и ориентированные графы
- •27. Виды графов: двудольные графы, регулярные графы, полные графы, деревья, планарные графы
- •28. Изоморфизм графов.
- •29. Способы задания графов.
- •32. Эйлеров путь в графе. Задача о кенигсбергских мостах. Эйлеров цикл. Теорема о существовании эйлерова цикла.
- •33. Алгоритм нахождения эйлерова цикла и его вычислительная сложность.
- •34. Гамильтонов цикл в графе. Алгоритм с возвратом для поиска гамильтонова пути. Оценки вычислительной сложности алгоритма.
- •35. Задача коммивояжера. Алгоритм поиска субоптимального решения.
- •36. Задача построения минимального остовного дерева. Алгоритм Краскала. Алгоритм Прима. Оценка вычислительной сложности этих алгоритмов.
- •37. Перенумерация вершин графа. Алгоритм топологической сортировки.
- •39. Принцип оптимальности Беллмана. Алгоритм нахождения кратчайшего пути в ориентированном графе и его вычислительная сложность.
- •1 Begin
- •40. Алгоритм вычисления расстояний между всеми парами вершин графа. Общий случай.
- •41. Алгоритм нахождения расстояния от источника до всех остальных вершин в графе с неотрицательными весами дуг — метод Дейкстры. Оценка вычислительной сложности.
- •1 Begin
- •5 Begin
- •42. Алгоритм топологической сортировки. Алгоритм нахождения расстояния от источника до всех остальных вершин в графе в случае бесконтурного графа. Оценка вычислительной сложности
- •43. Знаковые графы и их практическое применение. Задачи из области социологии малых групп, экономики и политики.
- •44. Теорема о структуре (теорема Харари о балансе).
- •45. Знаковые орграфы как модель когнитивных карт. Контуры положительной и отрицательной обратной связи и устойчивость/изменчивость моделей на орграфах.
- •46. Двудольные графы. Необходимое и достаточное условие двудольности графа.
- •47. Сети Петри. Функционирование сети Петри. Конечные разметки сети.
- •Иллюстрация к правилу срабатывания перехода
- •48. Сети Петри. Ограниченность, безопасность, сохраняемость, достижимость, живость. Моделирование на сетях Петри.
- •50. Конечный автомат как математическая модель устройства с конечной памятью и как управляющая система. Способы описания конечных автоматов: перечислительный; диаграмма состояний; таблица состояний.
- •51. Алгебра логики. Функции алгебры логики. Существенные и несущественные переменные. Бинарные логические операции. Формула. Суперпозиция функций. Таблицы истинности и таблицы Кэли.
- •52. Формы записи операций (функций) — инфиксная, префиксная, постфиксная. Эквивалентные формулы.
- •53. Основные схемы логически правильных рассуждений.
- •54. Функционально полные системы (базисы). Булева алгебра логики. Функциональная полнота системы булевых функций. Примеры других алгебр логики.
- •55. Основные эквивалентные соотношения в булевой алгебре. Выражение через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание других логических бинарных операций. Двойственность.
- •56. Булева алгебра логики. Сднф и днф. Карта Карно. Функциональные схемы как приложение булевых функций.
- •57. Функции k-значной логики и их задание с помощью таблицы истинности и с помощью таблицы Кэли. Примеры k-значных логик.
- •59. Квантор всеобщности и квантор существования.
- •61. Истинные формулы и эквивалентные соотношения логики предикатов.
- •62. Префиксная нормальная форма. Процедура получения пнф.
- •63. Формальные теории. Принципы построения формальной теории.
- •64. Исчисление высказываний.
15. Диаграмма Хассе как способ задания отношения частичного порядка на множестве.
Отношения частичного порядка рефлексивность: (a M) ((a,a)R); транзитивность: (a,b,c M) (((a,b)R) и (b,c)R) (a,c)R) антисимметричность: (a,b M) (((a,b)R) и (b,a)R)╚ a=b);
Отношение «какой элемент более предпочтителен» определено не для каждой пары.
Пусть
aRb
и a<b
(b
предпочтительней, чем а)
Уровни иерархии: Нижние уровни: элементы, являющиеся наименее предпочтительными.
Высшие уровни: элементы, которые над ними доминируют.
A={a,b,c}
Множество
булеан (множество всех подмножеств
данного множества). Мощность булеана
определяется как:
.
В данном случае 8.
Отношение быть подмножеством: транзитивное и антисимметричное (следовательно отношение порядка).
Диаграммы Хассе используют для наглядного представления ЧУМ. На а этих диаграммах изображают элементы ЧУМ, причем если элемент a предшествует элементу b, то a рисуют ниже b, и соединяют отрезком, если a непосредственно предшествует b.
16. Отображения. Изоморфизм. Автоморфизм. Гомоморфизм. Эпиморфизм. Эндоморфизм. Мономорфизм. Биморфизм.
Изоморфизм (от греческих слов zosi – равный и hjrom – образ, вид, форма) – это одно из основных понятий современной математики, которое исторически возникло сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим системам, как группы, кольца, поля и др., но оказавшееся принципиально существенным для общего понимания строения и структуры самых разных систем.
Пусть даны две системы объектов S и S/ , причем в первой системе S определены отношения Fk (x1, x2, ...), k = 1, 2, ..., n, а во второй системе S/ – определены отношения F/k (x/1, x/2, ...), k = 1, 2, ..., n. Системы S и S/ с указанными на них здесь отношениями называются изоморфными, если между ними существует такое взаимно однозначное соответствие x/=j(x), x = y(x/), где x – произвольный элемент системы S, а x/ – произвольный элемент системы S/, что из наличия Fk (x1, x2, ...) вытекает F/k (x/1, x/2, ...), и наоборот. Отображение j называется в этом случае изоморфным отображением или изоморфизмом системы S на систему S/, а обратное ему отображение y – изоморфизмом системы S/, на систему S. Факт изоморфности систем S и S/ обозначается следующим образом: S@S /.
Гомоморфизм – (от греческих слов zomo – равный, одинаковый и hjrom) – отображение множества элементов одной алгебраической системы в (в том числе на) другую, сохраняющее все значимые отношения (в частности, все операции).
Пример:
{Zn,+} и {Z2n,+}
G: n – 2n
c=a+b
G: 2c=2a+2b=c’
G: a’=2a
G: b’=2b
2a+2b=c’’
2a+2b=2a+2b
Автоморфизм (от греческих слов zotua – сам и hjrom) – изоморфизм некоторой системы объектов на себя.
Эндоморфизм – (от греческих слов nodne – внутри и hjrom) – гомоморфизм алгебраической системы в (в том числе и на) себя.
Эпиморфизм – (от греческих слов ipe – на, над, при, после и hjrom) или, что то же самое, сюръективное отображение (сюръекция) множества A на множество B – отображение f такое, что образ A есть все B, т.е. f(A)=B.
Мономорфизм – (от греческих слов zonom – один и hjrom) или, что то же самое, инъективное отображение (инъекция) множества A в множество B – отображение, при котором различные элементы из A имеют различные образы в B. Инъективное отображение называют также взаимно однозначным отображением множества A в множество B или вложением.
Биморфизм– (от латинского bi – двойной, двоякий и hjrom) или, что то же самое, биективное отображение (биекция) –мономорфизм и эпиморфизм одновременно.
гомоморфизм эндоморфизм
все A (в, на) B все A (в, на) A
изоморфизм автоморфизм
A B (вз.одн.) A A(вз.одн.)
эпиморфизм (сюръекция)
все A (на) B
мономорфизм (инъекция, вложение)
все A (в, на) B (вз.одн.)
Биморфизм (биекция) = Мономорфизм + Эпиморфизм