19.2. Оценка дисперсии

Вводят S²[x] — оценку дисперсии ряда наблюдений, и S[x] — оценку СКО ряда наблюдений.

При этом под S²[x] понимают следующее значение

.

При n → ∞ S²[x] → D[x], где D[x] — истинная дисперсия измеряемой величины.

19.3. Обработка результатов прямых измерений

Будем считать, что систематическая погрешность убрана из ряда наблюдений либо учтена. Произведено n измерений величины x, и за действительное ее значение принимается . Рассмотрим 2 случая:

1. Дисперсия ряда наблюдений известна: , тогда

.

2. Дисперсия ряда наблюдений неизвестна. Тогда она оценивается величиной S²[x]. Для этого для каждого измерения определяется величина, называемая остаточной погрешностью:

.

Заметим, что

.

(Этот факт можно использовать для контроля правильности проведения эксперимента).

С учетом введенных обозначений, оценка дисперсии ряда наблюдений будет равна

.

Отсюда, оценка дисперсии действительного значения согласно п. ?₅.1 равна

.

Для определения доверительных интервалов погрешности необходимо найти законы распределения для случайных величин:

1. Для первого случая —

.

2. Для второго —

.

В первой дроби случайной величиной является лишь действительное значение измеренной величины . И если результаты измерения (члены ряда наблюдений) имеют нормальное распределение, то и имеет нормальное распределение (в силу устойчивости нормального закона распределения). Таким образом, Z_p имеет нормальное распределение, причем с матожиданием 0 и дисперсией 1.

Во второй дроби случайными величинами являются и . В результате, T_p имеет распределение Стьюдента с (n − 1) степенью свободы. С увеличением числа измерений (n → ∞) оценка СКО , то есть T_p → Z_p. На практике при n > 30 можно считать T_p = Z_p.

Вывод:

1. Для первого случая результат измерения

2. Для второго случая

,

где σ[x] и S[x] — СКО ряда наблюдений и оценка СКО ряда наблюдений, соответственно.

Замечание. Если закон распределения измеряемой величины отличен от нормального, то необходимо по возможности увеличить число измерений. Если проблемы исчезают при n > 30, то можно использовать для расчетов оценку дисперсии ряда наблюдений (второй случай).

Если при анализе наблюдений возникает подозрение на промах, т.е. один или несколько результатов явно «выбиваются» из ряда наблюдений, то необходимо проверить выполнение неравенства

1. В первом случае:

где — граница доверительного интервала нормально распределенной величины для доверительной вероятности pⁿ, а x_k — величина, подозреваемая на промах.

2. Во втором случае:

где — граница доверительного интервала случайной величины τ, меющей специальное распределение, зависящее от n, при доверительной вероятности p; x_k — величина, подозреваемая на промах.

Заметим, что безграничное число наблюдений, при котором распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение, невозможно, в частности, потому, что условия проведения измерительного эксперимента со временем изменяются.

19.4. Обработка косвенных измерений

Пусть измеряемая величина y является функцией величин a, b, c, …, измеряемых прямыми измерениями: y = F(a, b, c, …).  p = ui. 

Проведя обработку ряда наблюдений для величин a, b, c, … (в частности, устранив систематические погрешности ∆_сa, ∆_сb, ∆_сc, …), можно найти оценки значений аргументов:

и определить оценки дисперсий:

Дальнейшая обработка производится по методу линеаризации — ограничения ряда Тейлора для функции F слагаемыми, содержащими только первые производные.

Получим

где a_и, b_и, … — истинные значения аргументов, измеренных прямым способом. В более краткой форме можно записать выражение для ряда, если обозначить

, …

, …

Тогда

Так как действительные значения аргументов являются случайными величинами, то математическое ожидание Y равно

Поскольку мы говорили об исключении систематической погрешности, то

.

Дисперсия равна

Непосредственно вычислить коэффициенты нельзя, поскольку требуется знание истинных значений аргументов. Вместо истинных аргументов известны их оценки, поэтому оценка дисперсии будет равна

Если вместо дисперсии аргумента a мы знаем лишь ее оценку, вместо σ²[a] подставляем в выражение S²[a_i].

Исключение составляет случай, когда функция y линейная:

y = αa + βb + γc + …

где коэффициенты α, β, γ, … — известные постоянные. Тогда , при этом (Y – Y_и)/σ[Y] = Z_p и при известных дисперсиях аргументов можно вычислить погрешность измерения Y:

Y_и = Y ± Z_pσ[Y].

Если дисперсии аргументов неизвестны, то закон распределения уже величины можно аппроксимировать законом распределения Стьюдента.