17.1. Применение аппарата теории вероятностей к погрешностям
Пусть ∆x — случайная погрешность измерения, тогда для ее расчета можно применить методы теории вероятностей.
Математическое ожидание погрешности
уже не является случайной величиной. Эта константа характеризует центр группирования значений погрешности при повторных измерениях, то есть выражает систематическую погрешность ∆xс (смещенность измеренной величины относительно истинного значения):
Заметим, что на самом деле повторные измерения не всегда помогают полностью учесть систематическую погрешность. Для этого требуется еще и анализ эксперимента.
Дисперсия погрешности
.
Величина
равна
дисперсии
.
Она характеризует степень рассеяния
погрешности относительно математического
ожидания, причем этот разброс обусловлен
только случайной составляющей погрешности
∆x, но никак не
систематической составляющей. Поэтому
без строгих доказательств запишем
.
СКО
является
числовой характеристикой точности
измерений. Ясно, что СКО всегда
неотрицательно и выражается в единицах
измеряемой величины.
Рассмотрим конкретный пример. Пусть дан измерительный прибор с классом точности k. Класс точности определяет максимально допускаемую погрешность ∆xmax измерения величины x. Интервал допустимых погрешностей [∆xc − ∆xmax, ∆xc + ∆xmax] называется доверительным интервалом. Величина погрешности ∆x попадает в этот интервал с некоторой вероятностью (доверительной вероятностью). Например, на графике ниже штриховкой показана область вне доверительного интервала. Понятно, что для наших целей погрешность должна попадать в доверительный интервал с большой вероятностью, и не попадать — с весьма малой (но конечной) вероятностью.
Доверительные вероятности p выбирают из следующего ряда: 0,5 (например, для точности стрельбы); 0,8 (например, для проверки надежности СИ); 0,9; 0,95; 0,98; 0,99 (при оценке точности первичных эталонов и рабочих мер); 0,995; 0,997.
Выбор производится исходя из конкретных условий проведения измерительного эксперимента. Например, пусть для данного эксперимента нужно провести n опытов, чтобы погрешность была определена с доверительной вероятностью p:
-
p
0,8
0,9
0,95
0,98
0,99
0,995
0,997
n
20
40
80
200
400
800
1333
Как видно из таблицы, в данном случае можно без особых усилий провести эксперименты для p = 0,8; 0,9; 0,95. Дальнейшее представляет серьезную трудность: за время проведения эксперимента могут поменяться внешние условия, и это уже будут не повторные измерения одной и той же величины, а измерения разных величин.
Точность оценки погрешности серьезно зависит от закона распределения. Как правило, даже эмпирически определить его сложно, поскольку, опять же, вступают в силу изменяющиеся внешние условия.
Однако показано, что для широкого класса законов распределения, а именно, для симметричных распределений, выбор p = 0,9 позволяет определить доверительный интервал как ∆0,9 = 1,6σ[∆x]. (При выборе p = 0,95 справедлива похожая формула).