Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел

Произведением ц.н.ч. а и n называется ц.н.ч., определяемое следующим образом:

1) если n>1, то an=а+а+….+а
	n слаг. (сумма n слагаемых, каждое из которых равно а)
2) если n=1, то a1=а
3) если n=0, то a0=0

Теоретико-множественный смысл произведения: Если множества А₁, А₂…….А_n содержат по а элементов и никакие два из них не пересекаются, то их объединение содержит an элементов.

Произведением натуральных чисел a и b называется натуральное число, равное числу элементов декартова произведения множеств А и В, где n(A)=a, n(B)=b. ab=n(A)n(B)=n(AB)

Умножение: Действие, с помощью которого находят произведение, называют умножением

Произведение трех и большего числа множителей: Произведением а₁а₂а₃ называется произведение (а₁а₂)а₃, т.е

. а₁а₂а₃=(а₁а₂)а_3. Аналогично а₁а₂а₃а₄=((а₁а₂)а₃)а_4., т.е. нахождение произведения любого конечного числа множителей сводится, в конечном счете, к нахождению произведения двух множителей.

Теорема о существовании и единственности произведения ц.н.ч.

a,n_c_ c=an

Каковы бы ни были ц.н.ч. a и n, существует ц.н.ч. с, равное их произведению, и притом только одно.

Законы умножения

• Коммутативный (переместительный)

a,b_ab=ba

От перестановки множителей значение произведения не меняется

• Ассоциативный (сочетательный)

(a,b,c_) (ab)c=a(bc)

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

• Следствие из коммутативного и ассоциативного законов умножения

Эти законы позволяют произвольно менять местами множители и группировать рядом стоящие множители, что упрощает вычисления

• Дистрибутивный закон умножения относительно сложения (вычитания) (распределительное свойство)

a,b,n_ (a+b)n=an+bn

(a–b)n=an–bn

Для того, что бы сумму двух чисел умножить на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить.

Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел

Частное: Пусть А – непустое конечное множество, которое разбито на С равномощных классов, в каждом из которых b элементов, причем n(A)=a, А₁~А₂~…~А_c, n(А₁)=n(А₂)=…n(А_c)=b. Число С таких классов называют частным от деления а на b (выполнено деление по содержанию).

Число элементов b в каждом из С классов разбиения называют частным от деления а на с (выполнено деление на равные части).

Частным натуральных чисел а и b называется натуральное число с, которое при умножении на b дает а, т.е. а:b=ca=bc

Связь между компонентами умножения

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Связь между компонентами деления

Чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное

Чтобы найти делитель, надо делимое разделить на частное

Существование и единственность частного: Для того, чтобы частное натуральных чисел а и b существовало, необходимо (но не достаточно), чтобы аb. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственное.