Теоретико-множественный смысл операций на множестве Теоретико-множественный смысл суммы

Суммой целых неотрицательных чисел (ц.н.ч.) a и b называется ц.н.ч. c, равное числу элементов объединения множеств А и В, таких, что n(A)=a, n(B)=b

a+b=n(A)+n(B)=n(, если 

Сложение Действие, с помощью которого находят сумму целых неотрицательных чисел, называется сложением

Сумма трех и более слагаемых Суммой а₁+а₂+а₃ называется сумма (а₁+а₂)+а₃, т.е. а₁+а₂+а₃=(а₁+а₂)+а_3. Аналогично а₁+а₂+а₃+а₄=((а₁+а₂)+а₃)+а_4., т.е. вычисление суммы любого конечного числа слагаемых сводится к нахождению суммы двух слагаемых.

Теорема о существовании и единственности суммы ц.н.ч.

a,b_c_ c=a+b

Каковы бы ни были ц.н.ч. a и b, существует ц.н.ч. с, равное их сумме, и притом только одно.

Законы сложения

• Коммутативный (переместительный)

a,b_a+b=b+a

От перестановки слагаемых значение суммы не меняется

• Ассоциативный (Сочетательный)

a,b,с_ (a+b)+с=a+(b+c)

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно (достаточно) к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

• Следствия из ассоциативности и коммутативности сложения

Эти законы позволяют произвольно группировать соседние слагаемые и произвольно менять местами слагаемые, что упрощает вычисления

Монотонность суммы

ТЕОРЕМА 1 a,b,с_ если b<a, то c+b<c+a

Сумма возрастает, если возрастает одно слагаемое, а другое слагаемое не меняется

ТЕОРЕМА 2 a,b,с,d_ если a<b,c<d, то a+c<b+d

Сумма возрастает, если возрастают оба слагаемые

ТЕОРЕМА 3 a_ а+0=а (Основано на свойстве  na, n)

Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел

Разностью ц.н.ч. a и b называется ц.н.ч. с, равное числу элементов дополнения множества В до множества А, где n(A)=a, n(B)=b и , a-b=n(A)-n(B)=n(B_)

(аналогично: _=Аа-0=а, А_=Аа-а=0)

Вычитание Действие, с помощью которого находят разность чисел, называют вычитанием

Разностью ц.н.ч. a и b называется ц.н.ч. с, которое в сумме с числом b дает число а, т.е.

a-b=c  a=b+c

Связь между компонентами сложения

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

Связь между компонентами вычитания

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность

Третий подход к определению отношения "меньше" на 

a,bb<ac a=b+c

a,bb<ac_ a=b+c

Правила вычитания

• Правила вычитания числа из суммы

Пусть a,b и с – натуральные числа

1. если a>c, то (a+b)-c=(a-c)+b

2. если b>c, то (a+b)-c=(b-c)+a

3. если a>c и b>c, то можно использовать любую из этих формул. (a+b)-c=(a-c)+b=(b-c)+a

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно (можно) вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному числу прибавить другое слагаемое.

• Правило вычитания суммы из числа

a,b,с_ если a>b+c, то a-(b+c)=(a-b)-c=(a-c)-b

Чтобы вычесть сумму из числа, достаточно вычесть из этого числа одно слагаемое и из полученной разности вычесть другое слагаемое

Отношения "больше на", "меньше на"

Чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, надо от большего числа отнять меньшее.

5>3 на 2, т.к. 5-3=2. 3<5 на 2, т.к. 5-3=2.