Соответствие между двумя множествами

Соответствием между множествами X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.

Обозначение: P, Q, R, S, T…

Если Р – соответствие между множествами X и Y, то по определению Р является подмножеством их декартова произведения.

Область определения соответствия Р: Пусть Р – соответствие между множествами X и Y. Областью определения соответствия Р называется множество всех тех элементов из множества Х, каждому из которых соответствует хотя бы один элемент из множества Y.

Обозначение: D

Областью значений соответствия Р называется множество всех тех элементов из множества Y, каждый из которых соответствует хотя бы одному элементу из множества Х.

Обозначение: E

Способы задания соответствия:

1. Перечислить все упорядоченные пары элементов, связанных этим соответствием (граф, график)

2. Указать характеристическое свойство элементов этого подмножества (как правило, это предложение с двумя переменными – двухместный предикат - x>y, x<y, x+y=5…)

Соответствие, обратное данному: Пусть Р - соответствие между множествами X и Y. Соответствие Р^-1 между множествами У и Х называется обратным данному, если xР^-1y  xРy, то есть элементы у и х связаны соответствием Р^-1 тогда и только тогда, когда элементы х и у связаны соответствием Р.

Способы получения Р^-1 из Р:

1. Поменять на графе направления стрелок

2. В парах поменять местами координаты

3. В характеристическом свойстве поменять местами х и у

4. Графики Р^-1 и Р симметричны относительно прямой y=x

5. D(Р)=E(Р^-1); E(Р)=D(Р^-1)

Взаимно однозначное соответствие: Соответствие между множествами X и Y называют взаимно однозначным, если каждому элементу из множества Х соответствует единственный элемент множества Y, и наоборот – каждый элемент множества Y соответствует единственному элементу множества Х.

Равномощные множества: Два множества называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие (хотя бы одно)

Обозначение: X~Y

Равночисленными множествами называют равномощные конечные множества.

Бесконечные множества: Множество называют бесконечным, если оно равномощно своему собственному подмножеству

Математические доказательства

Умозаключение - это способ получения нового знания на ос­нове некоторого имеющегося. При этом мы не обращаемся к исследованию предметов и явлений самой действительности, а открываем такие связи и отношения между ними, которые невозможно увидеть непосредственно. Умозаключение состоит из посылок и заключения.

Посылки - это высказывания, содержащие исходное знание.

Заключение - это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного. В умозаключении из посылок выводится заключение.

Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении ло­гического следования.

Неполная индукция- это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса. Выводы, полученные с помощью неполной индукции, носят характер предположения, гипотезы. Их надо либо доказывать, либо опровергать.

Аналогия (с греч. - соответствие, сходство). Под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них дела­ется вывод о наличии такого же признака у другого объекта. Вывод по аналогии носит характер предположения, гипо­тезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в оп­ровержении.

Правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений.

Математическое доказательство - это цепочка дедуктивных умозаключений, выполняемых по опреде­ленным правилам.

Правила вывода или схемы дедуктивных (правильных) умозаключений. Наиболее часто используются следующие:

A(x)  B(x), A(а)	- правило заключения
B(а)
A(x)  B(x), B(а)	- правило отрицания
A(а)
A(x)  B(x), B(x)  C(x)	- правило силлогизма
A(x)  C(x),

Доказать какое-либо утверждение - это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

Доказательство - это цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений. Различают прямые и косвенные доказательства.

Полная индукция -такой способ доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях. Относят к прямым доказательствам.

Метод от противного. Его суть состоит в следующем. Пусть надо доказать теорему А В. Вместо нее пробуют доказать теорему В А. Если это удалось, то по закону контрапозиции делают вывод , что теорема А В тоже истинна.